Кеплер: винные бочки и второй порядок малости

Повод

В 1613 году Кеплер, недавно овдовевший императорский математик, женился вторично в Линце и закупил вина для свадьбы. Продавец измерял бочку так: просовывал мерную рейку в отверстие посередине боковой поверхности наискось до дальнего края днища и читал объём по отметке.

Кеплера это возмутило: одно измерение не может определять объём, поскольку бочки бывают разной формы — длинные и узкие, короткие и широкие. При одной и той же диагонали объёмы должны различаться.

Он взялся разобраться и написал книгу:

«Nova stereometria doliorum vinariorum» — «Новая стереометрия винных бочек», Линц, 1615.

Метод

Кеплер разрезает тела на бесконечно много бесконечно тонких частей и складывает.

Пример, который он приводит первым. Круг составлен из бесконечного числа тонких равнобедренных треугольников с вершинами в центре и основаниями на окружности. Высота каждого — радиус $R$, сумма оснований — длина окружности $C$. Значит,

$$S = \frac{1}{2}\,C\,R = \frac12\cdot 2\pi R\cdot R = \pi R^{2}.$$

Аналогично шар составлен из бесконечно тонких конусов с вершинами в центре:

$$V = \frac13\,S_{\text{сферы}}\,R = \frac13\cdot4\pi R^{2}\cdot R = \frac43\pi R^{3}.$$

Строгостью тут и не пахнет — это ровно то, за что через двадцать лет будут ругать Кавальери, и Кеплер сам оговаривается, что архимедово доказательство было бы длиннее. Но метод работает и быстр.

Кеплер систематически применяет его к девяноста двум телам вращения, придумывая им названия: «яблоко», «лимон», «айва», «слива», «груша», «огурец», «турецкий тюрбан». Многие из этих кубатур получены впервые в истории.

Второй порядок: зародыш условия $f'=0$

Вот наблюдение, ради которого эту точку стоит ставить отдельно от КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно..

Кеплер обнаруживает, что австрийская бочка устроена почти оптимально: при заданной длине измерительной рейки её форма близка к той, что даёт наибольший объём. И замечает нечто важное:

Вблизи наибольшего значения изменение объёма при изменении формы почти незаметно.

Разберём. Пусть бочка — цилиндр диаметра $d$ и высоты $h$, рейка проходит по диагонали от отверстия посередине до края днища, её длина

$$L^{2} = d^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}.$$

Объём $V = \pi\dfrac{d^{2}}{4}h$. Выражая $d^{2}=L^{2}-\dfrac{h^{2}}{4}$:

$$V(h) = \frac{\pi}{4}\left(L^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)h = \frac{\pi}{4}\left(L^{2}h - \frac{h^{3}}{4}\right).$$

Максимум: $V'(h) = \dfrac{\pi}{4}\left(L^{2}-\dfrac{3h^{2}}{4}\right)=0$, откуда

$$h^{*} = \frac{2L}{\sqrt3}, \qquad \frac{h^{*}}{d^{*}} = \sqrt2.$$

Теперь главное. Разложим $V$ около максимума:

$$V(h^{*}+\varepsilon) = V(h^{*}) + \underbrace{V'(h^{*})}_{=0}\varepsilon + \frac{V''(h^{*})}{2}\varepsilon^{2}+\cdots = V(h^{*}) + O(\varepsilon^{2}).$$

Отклонение формы на 1% меняет объём примерно на 0,01% — на два порядка меньше. Именно это Кеплер и заметил: бочка, изготовленная неточно, всё равно почти оптимальна, а потому измерение рейкой работает лучше, чем следовало бы ожидать.

Счёт целиком — в задачнике: задача об австрийской бочкеАвстрийская бочкаЗадачи Возрождения на наибольшее и наименьшее · Кеплер, «Новая стереометрия винных бочек», 1615 · 11 классВиноторговец мерил бочку прутом, вставляя его в отверстие посреди боковой стенки и упирая в дальний нижний край дна: прут проходит по горизонтали весь диаметр d, по вертикали — половину…. Рядом с ней стоит и египетский круглый амбарКруглый амбарПапирус Ринда · задача 41 · 11 классНайти вместимость круглого амбара диаметром 9 и высотой 10 по египетскому правилу: площадь основания считать как квадрат со стороной … диаметра. Насколько ответ отличается от истинного? — древнейшее вычисление объёма цилиндра, за три с половиной тысячи лет до Кеплера.

Численно: при $h = 1{,}1h^{*}$ (отклонение 10%) объём падает примерно на 1,5%.

Содержательно это условие $f'=0$ в точке экстремума — то, что ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. превратит в метод через четырнадцать лет (Ферма), а ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». опубликует как правило через шестьдесят девять (Лейбниц). Кеплер не сделал из наблюдения метода: он констатировал факт для конкретной задачи. Но факт — тот самый.

Реакция и продолжение

Книга была написана на латыни и продавалась плохо; Кеплер издал в 1616 году немецкий пересказ «Messekunst Archimedis», чтобы её читали бочары. Оба издания разошлись скверно, и Кеплер жаловался на убытки.

Однако метод разошёлся. Кавальери прямо ссылается на Кеплера; через него — Ферма, РобервальЖиль Робервальфранцузский математик и механик · 1602–1675Сорок лет держал кафедру, которую каждые три года разыгрывали на конкурсе задач, — и потому прятал свои методы. Заплатил за это тем, что почти все его результаты напечатал кто-то другой раньше., Торричелли. Историки называют «Стереометрию» одним из главных источников европейского интегрального исчисления.

Кеплер и остальная карта

Стоит помнить, что этот же человек в те же годы:

• вывел три закона движения планет (первые два в «Astronomia nova», 1609; третий — в «Harmonices mundi», 1619, то есть между стереометрией и её немецким изданием);
• второй закон («радиус-вектор заметает равные площади за равные времена») формулируется через площадь и по существу является утверждением о сохранении величины $\frac{dS}{dt}$ — Кеплер вычислял эти площади суммированием бесконечно малых секторов, тем же методом, что и объёмы бочек;
• в 1611 году сформулировал гипотезу о плотнейшей упаковке шаров, доказанную Хейлзом только в 1998 году (с компьютерной проверкой) и формально верифицированную в 2014-м;
• в 1615–1621 годах вёл судебный процесс, защищая мать от обвинения в колдовстве; она провела в заключении четырнадцать месяцев и была освобождена.

Заодно это хороший ответ на школьный вопрос, зачем нужна математика: трактат об измерении винных бочек и законы движения планет написаны одним человеком одним методом.