Европа · Кеплер, «Новая стереометрия винных бочек», 1615
Австрийская бочка
Как звучало тогда
Продавец опускает прут в отверстие бочки наискось, до противоположного края днища, и по одной этой мерке назначает цену. Я усомнился, справедлива ли такая мера.
Условие
Виноторговец мерил бочку прутом, вставляя его в отверстие посреди боковой стенки и упирая в дальний нижний край дна: прут проходит по горизонтали весь диаметр $d$, по вертикали — половину высоты $h$, так что $L^2=d^2+\frac{h^2}{4}$. Считая бочку цилиндром, найти, при каком отношении $h:d$ объём наибольший при данной длине прута $L$.
Показать ответ
$h:d=\sqrt2:1$; при этом $h=\dfrac{2L}{\sqrt3}$, $d=L\sqrt{\dfrac23}$
О чём эта задача
Кеплер начал с подозрения в обмане, а кончил тем, что оправдал австрийских бочаров: их бочки оказались почти в точности оптимальными, и потому продавец действительно мог мерить одним прутом. Заодно он заметил то, ради чего задачу и стоит показывать: вблизи максимума объём меняется очень слабо — ошибка в пропорциях почти не сказывается на вместимости. Это наблюдение о плоской вершине через двадцать лет подхватит Ферма и превратит в правило поиска экстремума.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.