Фибоначчи: девять индийских знаков

Человек без своего имени

Леонардо Пизанский (ок. 1170 — после 1240) прозвища «Фибоначчи» не носил. Он подписывался Leonardus Pisanus, а иногда Leonardo Bigollo — «Леонардо-путешественник», и слово это в пизанском говоре имело оттенок «бездельник, шатающийся по свету». Прозвище Fibonacci (стяжение filius Bonacci, «сын Боначчо») ему дал историк математики Гийом Либри в 1838 году — через шестьсот лет после смерти.

Биография известна из одного абзаца, который он написал сам, в предисловии к книге. Отец, Гульельмо, служил пизанским таможенным чиновником в Беджайе — порту на алжирском берегу, где Пизанская республика держала торговую факторию. Мальчика вызвали к отцу и отдали учиться счёту, чтобы был полезен в деле.

«Там мне показали искусство девяти индийских знаков, и знание его понравилось мне превыше всего прочего».

Дальше он ездит по делам отца — Египет, Сирия, Прованс, Византия, Сицилия — и всюду расспрашивает местных счётчиков. Книга, которую он привезёт из этих поездок, изменит европейскую бухгалтерию раньше, чем европейскую математику.

Книга

«Liber Abaci», 1202 год, Пиза. Вторая редакция — 1228, посвящена придворному астрологу Фридриха II Микаэлю Скоту. Автографа не сохранилось; текст известен по четырнадцати рукописям, старшая из которых конца XIII века.

Название обычно переводят «Книга абака», и это сбивает с толку: абак книга как раз отменяет. Abaco в итальянском языке того времени значило уже не столько счётную доску, сколько «счёт» вообще; школы, где учили торговой арифметике, назывались scuole d'abaco ещё двести лет спустя. Точнее было бы «Книга счёта».

Начинается она так:

Novem figure indorum he sunt: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus.

«Девять индийских знаков суть: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Этими девятью знаками и знаком 0, который по-арабски зовётся зефирум, записывается любое число».

Обратите внимание на две вещи. Первая: цифры перечислены справа налево, как их писали бы арабской рукой. Вторая: нуль назван отдельно и не входит в число «девяти знаков» — он ещё не цифра, а знак пустого места.

Из этого zephirum (от арабского ṣifr, «пустое») получились в итальянском zefiro, потом венецианское zevero — и наконец zero. То же арабское слово дало второй ветвью «цифра»: французское chiffre, немецкое Ziffer, русское «шифр». Одно слово, означавшее «ничто», дало и название нуля, и название всех цифр разом, и слово для тайнописи — потому что первые европейские шифры были именно цифровыми.

Что было до

Стоит понять, чего именно не хватало Европе, потому что «римские цифры неудобны» — объяснение слишком лёгкое.

Римскими цифрами прекрасно записывают. Ими невозможно считать: попробуйте перемножить MDCCLXXVI на XLIX, не переводя в другую систему. Поэтому в средневековой Европе счёт и запись были разными занятиями. Считали жетонами на разграфлённой доске — руками, передвигая фишки по линиям разрядов; записывали результат римскими цифрами, для памяти. Между инструментом счёта и записью числа не было ничего общего.

Английское казначейство называлось Exchequer — «шахматная доска», по клетчатому сукну, на котором раскладывали жетоны. Считать так оно продолжало до 1826 года.

Индийская позиционная система соединила разорванное: знаки, которыми можно считать. Разряд определяется местом, нуль держит пустое место, и все действия сводятся к правилам обращения со знаками на бумаге — правилам, которые выполняются, не приходя в сознание. Это и есть алгоритм; слово пришло от имени человека, чью книгу об индийском счёте Европа читала в латинских переводах, — Аль-Хорезми.

Что внутри

Пятнадцать глав, и по составу это учебник для купца, а не для математика:

• сами знаки, разряды, чтение и запись больших чисел;
• сложение, вычитание, умножение, деление — с приёмами проверки (девяткой);
• дроби, включая египетские (суммы долей вида $1/n$), и правила приведения;
• правило трёх и его торговые применения: цена, вес, обмен;
• перевод валют — задачи с пизанскими лирами, сольдо и денариями, с византийскими и арабскими монетами;
• пробы сплавов и составление смесей;
• проценты, товарищество, дележ прибыли;
• извлечение квадратных и кубических корней;
• линейные системы и метод «прямого правила» (regula recta), где неизвестное обозначается словом res — «вещь».

Ни одного результата, которого не было бы у арабских авторов. Ценность книги не в новизне, а в том, что она полна: человек, прочитавший её подряд, умеет считать всё, что нужно уметь считать.

Кролики

В двенадцатой главе, между задачей о четырёх гирях и задачей о совершенных числах, стоит вот эта:

Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur — «Сколько пар кроликов родится за год от одной пары».

Условие: пара кроликов даёт приплод — новую пару — каждый месяц, начиная со второго месяца жизни; никто не умирает. Сколько пар будет через год?

$$1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; 34,\; 55,\; 89,\; 144,\; 233,\; \mathbf{377}.$$

Каждое число — сумма двух предыдущих: $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$.

Три замечания, которые обычно теряются.

Первое: Фибоначчи не придал ей значения. Задача стоит в общем ряду, никак не выделена, к ней нет ни продолжения, ни комментария. Он решил её и пошёл дальше. Имя «числа Фибоначчи» дал последовательности Эдуар Люка в 1870-х — тот самый, что проверял вручную простоту числа из тридцати девяти цифр; он же обнаружил, что признак простоты для чисел МерсеннаМарен Мерсеннфранцузский монах, математик и теоретик музыки · 1588–1648Монах-минимит, работавший научным журналом за сто лет до появления журналов: через его келью в Париже шла переписка всей учёной Европы. Числа его имени до сих пор дают рекордные простые. удобно строить на родственной последовательности. Прославил числа человек, живший через шестьсот пятьдесят лет.

Второе: в Индии их знали раньше. В санскритской просодии считали, сколькими способами можно составить стихотворную строку заданной длительности из кратких (одна мора) и долгих (две моры) слогов. Ответ подчиняется той же рекуррентности, и правило явно выписано у Вираханки (ок. 700), Гопалы (ок. 1135) и Хемачандры (ок. 1150) — за полвека до Пизы. Корни у Пингалы, II век до н. э.

Третье: биологически задача — вздор, и это не упрёк. Кролики бессмертны, приплод всегда парный и всегда разнополый, срок созревания ровно месяц. Условие подогнано так, чтобы получилась чистая рекуррентность, — то есть перед нами не модель размножения, а первая в европейской математике задача, ответ которой задан через собственные предыдущие значения. Отсюда пойдёт всё, что мы называем рекуррентными соотношениями.

Сопротивление

Новые цифры приживались около трёхсот лет, и сопротивление им было осмысленным.

В 1299 году во Флоренции статут гильдии менял Arte del Cambio запретил вести книги «арабскими» знаками — суммы полагалось писать словами или римскими цифрами. Причина не в мракобесии, а в подделке: в позиционной записи 0 легко переправляется в 6 или 9, а приписанный справа знак умножает сумму на десять. Римская запись громоздка, зато её не подделаешь незаметно, а слово прописью — тем более. Отголосок этой предосторожности жив: сумма на банковском чеке и сегодня дублируется прописью.

Спор абакистов (счёт на доске) и алгористов (счёт пером) тянулся весь XIV и XV век, и в популярных гравюрах XVI века их всё ещё изображают за соседними столами. Победа далась не доказательством, а практикой: двойная бухгалтерия, которую в 1494 году опишет Лука Пачоли, на жетонах попросту невозможна.

Та же история повторится в другой стране на четыре века позже и уложится в одну книгу: «Арифметика» Магницкого 1703 года печатает вычисления арабскими цифрами — и вопрос для России закрывается.

Чего Фибоначчи стоил как математик

«Liber Abaci» — его самая влиятельная книга, но не лучшая. Математики выше ставят «Liber quadratorum» (1225): трактат о квадратах, где он работает с суммами вида $x^{2}+n$, вводит конгруэнтные числа и доказывает, что 1 конгруэнтным числом не является — утверждение, равносильное частному случаю Великой теоремы Ферма для показателя 4, за четыре столетия до ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей..

Есть и эпизод, который стоит целой биографии. При дворе Фридриха II в Пизе Иоанн Палермский предложил ему уравнение

$$x^{3}+2x^{2}+10x=20.$$

Фибоначчи показал, что корень не может быть ни целым, ни рациональным, ни выражаться квадратными радикалами вида, известного из ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего., — и привёл ответ в шестидесятеричной записи:

$$1;\,22,\,7,\,42,\,33,\,4,\,40 \;=\; 1{,}3688081075\ldots$$

Верны все девять знаков. Каким методом он их получил, он не написал, и мы не знаем до сих пор.

Почему это первая точка

Цифры сами по себе — не математика. Математикой их делает то, что с ними можно работать по правилам, не думая: переносить в старший разряд, сносить, делить в столбик. Ровно здесь, в пизанской конторе на алжирском берегу, Европа получила первый набор таких правил — и вместе с ними мысль, что вычисление можно поручить процедуре.

Всё остальное в этой линии — продолжение той же мысли. Сначала правила упрощают (дробь становится позиционной, умножение становится сложением), потом их поручают дереву и латуни, потом — шестерням, потом — людям, расставленным конвейером, и наконец машине.

Следующая точка: Самарканд — где счёт пером доходит до предела человеческих сил.