Ислам · ал-Каши, «Трактат о хорде и синусе»
Синус одного градуса
Условие
Синус $3^\circ$ можно построить точно: он выражается через синусы $18^\circ$ и $15^\circ$. Пользуясь формулой $\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$, составить уравнение для $x=\sin1^\circ$ и убедиться, что $x=0{,}0174524064\ldots$ ему удовлетворяет.
Показать ответ
$4x^3-3x+\sin3^\circ=0$; при $\sin3^\circ=0{,}0523359562$ корень равен $0{,}0174524064$
О чём эта задача
Хорда третьей части дуги — задача, на которой застряли все: она равносильна трисекции угла и потому неразрешима циркулем и линейкой. Ал-Каши обошёл её иначе: переписал уравнение как $x=\dfrac{\sin3^\circ+4x^3}{3}$ и стал подставлять в него собственный ответ снова и снова, получая на каждом шаге новый верный знак. Это метод последовательных приближений, за двести лет до Ньютона, и он получил синус градуса с шестнадцатью верными знаками. Тот же приём сегодня даёт корень любого уравнения на любом калькуляторе.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.