Карта → событие
Региомонтан: треугольник становится предметом
Мальчик из Кёнигсберга — не того
Иоганн Мюллер (1436–1476) родился в франконском Кёнигсберге — маленьком городке, не имеющем отношения к прусскому тёзке. Латинское имя города, Mons Regius, дало ему прозвище Региомонтан, под которым его знают все. Сам он так не подписывался: в книгах он Ioannes de Monteregio, а прозвище появилось через полвека после смерти.
Биография у него стремительная. В одиннадцать лет он студент в Лейпциге, в пятнадцать — в Вене у Георга Пурбаха. Вдвоём они берутся сокращать и исправлять «Альмагест»; Пурбах умирает в 1461-м, не дойдя до середины, и Региомонтан заканчивает работу один.
Эта «Эпитома»сокращённое изложение чужого сочинения с исправлениями и добавлениями — ходовой жанр эпохи, когда полный текст был дорог, редок и труден «Альмагеста» напечатана в 1496 году, и её читает молодой Коперник. В ней есть замечание, которого нет у Птолемея: если Луна движется по птолемеевой модели, её видимый размер должен меняться вдвое — а он не меняется. Модель не сходится с тем, что видно глазом. С этого замечания начинается недоверие, из которого через полвека вырастет гелиоцентризм.
Книга, напечатанная через пятьдесят семь лет
«De triangulis omnimodis» — «О треугольниках всех видов» — закончена в 1464 году. Пять книг: первые две о плоских треугольниках, три остальные о сферических.
Напечатана она в Нюрнберге в 1533 году, через пятьдесят семь лет после смерти автора, стараниями Иоганна Шёнера.
Это первая в Европе книга, где тригонометрия — самостоятельный предмет, а не первая глава астрономического сочинения. Ровно тот шаг, который двумя веками раньше сделал ат-Туси в Мараге. Читал ли Региомонтан ат-Туси, неизвестно: прямых свидетельств нет, а общая арабская традиция была доступна в Европе через Испанию и могла дать обоим одно и то же.
Содержание для школьника узнаваемо до неловкости: теорема синусов, решение треугольника по двум углам и стороне, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Это и есть «решение треугольников» из десятого класса, собранное в 1464 году.
Одного в книге нет — теоремы тангенсов. Её плоский вариант появится у Виета в 1580-е годы, а сферический был ещё у ат-Туси. Так что если в задачнике она стоит рядом с теоремами синусов и косинусов как их ровесница, это неправда: она моложе на век.
Задача Региомонтана
В 1471 году он пишет письмо эрфуртскому профессору Кристиану Родеру и ставит задачу:
На стене вертикально висит шест. С какого расстояния он виден под наибольшим углом?
Историки математики называют это первой экстремальной задачей Нового времени: до неё в Европе никто не спрашивал, при каком положении величина наибольшая.
Ответ красив. Пусть нижний конец шеста находится на высоте $a$ над уровнем глаз, верхний — на высоте $b$. Тогда наилучшее расстояние равно
$$x=\sqrt{ab}$$
— среднему геометрическому. Иными словами, встать надо там, где окружность, проведённая через оба конца шеста, касается линии взгляда.
Задача жива: под именем «задачи о картине в музее» или «о футбольном ударе с фланга» она стоит в любом сборнике на экстремумы. Полтора века спустя её будет решать Ферма уже своим методом — приравнивая производную нулю, только слова «производная» ещё не будет.
Типография и таблицы, спасшие Колумба
В 1471 году Региомонтан переезжает в Нюрнберг, и причину объясняет сам: город стоит посреди Европы, оттуда удобно рассылать письма и книги, и там лучшие в мире ремесленники, умеющие делать инструменты.
Он заводит первую в истории научную типографию — печатает математику и астрономию сам, потому что переписчики врут в числах, а наборщики без присмотра врут ещё хуже. И выпускает первый в истории издательский проспект: список из сорока с лишним книг, которые собирается напечатать. Успевает меньше десятой части — в 1476 году он умирает в Риме в сорок лет, вызванный папой для реформы календаря.
Среди напечатанного — «Эфемериды»таблицы, где на годы вперёд выписаны положения Солнца, Луны и планет на каждый день; слово от греческого ἐφήμερος — «однодневный», таблицы положений светил на годы вперёд. Их берёт с собой в плавание Колумб. В 1504 году, застряв на Ямайке без припасов, он находит в таблицах лунное затмение на 29 февраля, объявляет индейцам, что отнимет у них Луну, — и получает продовольствие.
Откуда берётся $\sqrt{ab}$
Нижний конец шеста — на высоте $a$ над уровнем глаз, верхний — на высоте $b$, наблюдатель стоит на расстоянии $x$. Угол зрения $\theta$ равен разности двух углов, и
$$\tg\theta=\frac{(b-a)\,x}{x^2+ab}.$$
Докажите, что этот угол наибольший при $x=\sqrt{ab}$.
Указание: поделите числитель и знаменатель на $x$; получится $\dfrac{b-a}{x+ab/x}$. Дробь наибольшая, когда знаменатель наименьший, а сумма $x+\dfrac{ab}{x}$ по неравенству о средних не меньше $2\sqrt{ab}$, причём равенство — ровно при $x=\sqrt{ab}$.
Следующая точка: тот же Нюрнберг шестьдесят лет спустя — где книгу для мастеров напишет художник, и напишет по-немецки.