Птолемей: «Альмагест» и таблица хорд

Книга, у которой арабское имя

Клавдий Птолемей назвал свой труд «Μαθηματικὴ Σύνταξις» — «Математическое построение». Греки, отличая его от книг попроще, стали говорить «μεγίστη», «величайшая»; арабы превратили это в al-majisṭī; латинский перевод с арабского дал «Альмагест». Под этим гибридным именем книга и живёт полторы тысячи лет.

Написана она около 150 года в Александрии. Это учебник астрономии в тринадцати книгах — и одновременно главный источник по всей греческой астрономии до него, потому что почти всё, на что Птолемей ссылается, до нас не дошло.

Нас здесь интересует только первая книга. Прежде чем говорить о небе, Птолемей выкладывает математику, которая для этого понадобится, — и получается первый в истории полный курс тригонометрии.

Таблица

Радиус Птолемей берёт $R = 60$ и работает в шестидесятеричных дробяхзапись вида $84;51,10$ означает $84+\dfrac{51}{60}+\dfrac{10}{3600}$ — точка с запятой отделяет целую часть, запятые разделяют разряды, унаследованных от Вавилона. Отсюда, кстати, и наши единицы: доли, получаемые первым делением на шестьдесят, назывались partes minutae primae — «части малые первые», отсюда минута; полученные вторым делением — partes minutae secundae, отсюда секунда.

Таблица идёт от $0^\circ$ до $180^\circ$ с шагом в полградуса — это 360 строк, каждая с точностью до третьего шестидесятеричного знака, то есть примерно до одной стотысячной. Ничего подобного по объёму вычислительной работы античность больше не производила.

Как она построена

Опорные значения берутся из правильных многоугольников, вписанных в окружность:

Дуга	Многоугольник	Хорда	В шестидесятеричной записи
$60^\circ$	шестиугольник	$R$	$60$
$90^\circ$	квадрат	$R\sqrt2$	$84;51,10$
$120^\circ$	треугольник	$R\sqrt3$	$103;55,23$
$36^\circ$	десятиугольник	$\dfrac{R(\sqrt5-1)}{2}$	$37;4,55$
$72^\circ$	пятиугольник	$R\sqrt{\dfrac{5-\sqrt5}{2}}$	$70;32,3$

Дальше нужны переходы: от хорды дуги — к хорде дополнения (теорема Пифагора), к хорде разности двух дуг и к хорде половины дуги. Первое и третье Птолемей выводит без труда. А вот второе — хорда разности — и есть та самая теорема.

Теорема Птолемея

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:
$$AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD.$$

Прежде чем идти дальше, посмотрите, что будет, если вписанный четырёхугольник — прямоугольник. Диагонали равны между собой, противоположные стороны тоже:

$$d\cdot d = a\cdot a + b\cdot b,\qquad\text{то есть}\qquad d^2=a^2+b^2.$$

Теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы о вписанном четырёхугольнике. Одного этого хватило бы, чтобы поставить точку на карту.

Есть и неравенство: для любых четырёх точек плоскости

$$AC\cdot BD \leqslant AB\cdot CD + BC\cdot AD,$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точки лежат на одной окружности именно в таком порядке. Неравенство Птолемея — рабочий инструмент олимпиадной геометрии до сих пор.

Откуда берутся формулы сложения

Теперь главное. Возьмём вписанный четырёхугольник $ABCD$, у которого $AD$ — диаметр, а точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от него. Пусть дуга $AB$ равна $\beta$, дуга $AC$ равна $\alpha$, и $\alpha > \beta$. Тогда дуга $BC$ равна $\alpha - \beta$.

Выпишем стороны и диагонали через хорды и подставим в теорему Птолемея:

$$\operatorname{crd}\alpha\cdot\operatorname{crd}(180^\circ-\beta)=\operatorname{crd}\beta\cdot\operatorname{crd}(180^\circ-\alpha)+\operatorname{crd}(\alpha-\beta)\cdot 2R.$$

Это и есть формула хорды разности — то, ради чего теорема доказывалась. А теперь переведём её на современный язык, пользуясь равенствами $\operatorname{crd}\theta = 2R\sin\dfrac{\theta}{2}$ и $\operatorname{crd}(180^\circ-\theta)=2R\cos\dfrac{\theta}{2}$:

$$\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}.$$

Формула синуса разности. Та самая, из десятого класса.

Вот что стоит сказать классу вслух: формулы сложения родились не как алгебраическое тождество, а как теорема о четырёхугольнике. Их не выводили преобразованиями — их чертили. И до XVI века никакого другого способа их получить не было.

Хорда одного градуса: первая оценка с погрешностью

Шаг таблицы — полградуса, значит нужна $\operatorname{crd}1^\circ$. И вот её-то из правильных многоугольников не получить никак: угол в один градус не строится ни делением пополам, ни вычитанием опорных дуг.

Птолемей поступает иначе. Он доказывает вспомогательное неравенство: для дуг $\alpha > \beta$

$$\frac{\operatorname{crd}\alpha}{\operatorname{crd}\beta}<\frac{\alpha}{\beta}$$

— хорда растёт медленнее дуги. Из него он зажимает искомое с двух сторон, беря соседние вычислимые дуги $1^\circ 30'$ и $45'$:

$$\tfrac{2}{3}\operatorname{crd}(1^\circ 30')<\operatorname{crd}1^\circ<\tfrac{4}{3}\operatorname{crd}(45').$$

Обе границы совпадают в первых трёх шестидесятеричных знаках, и Птолемей объявляет: $\operatorname{crd}1^\circ = 1;2,50$. Точное значение — $1{,}047175\ldots$, то есть $1;2,49,53$. Он не ошибся.

Задержитесь на этом. Величина не вычислена — она зажата между двумя вычислимыми, и оценка снизу и сверху объявлена достаточным ответом. Это первое в истории приближённое вычисление с доказанной точностью, и по духу оно ближе к численному анализу XX века, чем к чему бы то ни было греческому.

Чьё это всё

Птолемей постоянно ссылается на Гиппарха и не скрывает, что многое берёт у него. Насколько таблица хорд — его собственная работа, а насколько пересказ утраченной таблицы Гиппарха, историки спорят до сих пор, и спор этот вряд ли разрешится: сравнивать не с чем.

Для нашей линии важнее другое. Вся школьная тригонометрия — таблица значений, формулы сложения, градусы, минуты и секунды — вышла из одной книги по астрономии, написанной ради того, чтобы предсказывать положение планет по неверной модели мира.

Следующая точка: Александрия в третий раз — где подведут итог всему, что успела греческая геометрия, и попутно сохранят для нас книги, которых больше нет.