Гиппарх: первая таблица хорд

Астроном, от которого осталась одна книга — и не главная

Гиппарх Никейский (ок. 190 — ок. 120 до н. э.) работал в основном на Родосе и считается величайшим астрономом древности. Он открыл прецессию равноденствиймедленное вращение земной оси по конусу: точка весеннего равноденствия обходит эклиптику примерно за 26 тысяч лет, и из-за этого все звёздные координаты со временем плывут, составил каталог примерно из восьмисот пятидесяти звёзд, ввёл деление звёзд на шесть величин по яркости — шкалу, которой астрономы пользуются до сих пор, только с 1856 года она стала логарифмической.

Из всего им написанного сохранилось одно сочинение, и то не астрономическое, а придирчивый разбор чужой поэмы — «Комментарий к Арату». Всё остальное известно через Птолемея, который писал через триста лет и на Гиппарха постоянно ссылается.

Задача, которой нечем считать

Астрономия той эпохи — это вычисления на сфере. Где будет Луна через месяц, когда наступит затмение, какова широта места — все эти вопросы сводятся к одному: в треугольнике известны три элемента, найти остальные.

Геометрия к этому времени умеет доказывать про треугольники всё что угодно. Но доказательство даёт качественный ответ: «эти углы равны», «эта сторона больше». А астроному нужно число — и число с точностью до минуты дуги.

Между «доказать» и «посчитать» лежит пропасть, и Гиппарх её перешёл.

Хорда вместо синуса

Синуса нет и не будет ещё тысячу лет. Есть хорда: величина $\operatorname{crd}\alpha$ — длина хорды, стягивающей дугу в $\alpha$ градусов, в окружности выбранного раз навсегда радиуса $R$.

Связь с привычной нам функцией простая, и её стоит вывести самому. Хорда стягивает дугу $\alpha$; проведём к ней радиусы из центра и опустим на неё высоту. Высота делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных с углом $\alpha/2$ при центре, и половина хорды равна $R\sin(\alpha/2)$. Значит,

$$\operatorname{crd}\alpha = 2R\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Иными словами, таблица хорд — это таблица синусов, растянутая вдвое по аргументу и умноженная на $2R$. Первая в истории таблица значений функции появляется за восемнадцать веков до того, как появится само слово «функция».

Почему радиус равен 3438

Гиппарх, по реконструкции Джералда Тумера, взял $R = 3438$. Число выглядит взятым с потолка, но оно выбрано очень аккуратно.

Полная окружность — это $360^\circ$, то есть $360 \cdot 60 = 21600$ угловых минут. Если потребовать, чтобы длина окружности в единицах длины равнялась её угловой мере в минутах, получится

$$2\pi R = 21600 \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{21600}{2\pi} \approx 3437{,}75.$$

Округлим — выйдет 3438. Смысл такой: при таком радиусе дуга в одну угловую минуту имеет длину примерно единица, и короткие дуги можно без пересчёта считать равными своим хордам.

Иначе говоря, Гиппарх подобрал радиус так, чтобы работать фактически в радианной мере — за девятнадцать веков до того, как радиан будет введён и назван.

Сама таблица, по той же реконструкции, шла через $7{,}5^\circ$ и содержала двадцать четыре значения. Строилась она из немногого: хорда в $60^\circ$ равна радиусу (сторона правильного шестиугольника), хорда в $90^\circ$ и в $120^\circ$ считаются по теореме Пифагора, а дальше работает формула половинной дуги, позволяющая из $\operatorname{crd}\alpha$ получить $\operatorname{crd}(\alpha/2)$.

Что он с ней сделал

Стоит увидеть, ради чего всё это затевалось.

Гиппарх сравнил свои наблюдения звезды Спики с наблюдениями Тимохариса, сделанными полутора веками раньше, и обнаружил, что долгота звезды сместилась примерно на два градуса. Отсюда он получил скорость смещения точки весеннего равноденствия — не меньше $46''$ в год. Современное значение — $50{,}3''$.

Чтобы этот вывод стал возможен, требовалось перевести старые наблюдения в свою систему координат, а это и есть решение сферических треугольников. Без таблицы хорд прецессию не заметить.

Тригонометрия родилась не из треугольника на бумаге, а из необходимости сосчитать. И первым её объектом была не формула, а таблица.

Следующая точка: Александрия — где площадь треугольника научатся считать по одним только сторонам, а имя формулы достанется не тому.