Конические сечения Аполлония

Что было сделано

До Аполлония конические сечения умели получать только неуклюже. Менехм (IV в. до н. э.) брал три разных конуса — с острым, прямым и тупым углом при вершине — и рассекал каждый плоскостью, перпендикулярной образующей; получались три разные кривые, которые так и назывались: «сечение остроугольного конуса», «сечение прямоугольного конуса», «сечение тупоугольного конуса».

Аполлоний берёт один произвольный (в том числе косой) конус — точнее, двуполостную коническую поверхность — и меняет наклон секущей плоскости. Все три кривые оказываются членами одного семейства, а гипербола впервые получает обе ветви. Это шаг того же рода, что переход от трёх формул к одной с параметром: количество сущностей уменьшается, понимание растёт.

Из восьми книг «Коник» до нас дошли семь: I–IV в греческом оригинале, V–VII — в арабском переводе, сделанном в кругу Сабита ибн Курры в Багдаде IX века; книга VIII утрачена (Эдмунд ГаллейЭдмунд Галлейанглийский астроном, геофизик и математик · 1656–1742Известен кометой, но список его дел неправдоподобен даже по меркам эпохи: каталог южных звёзд, первая метеорологическая карта, первая честная таблица дожития — и «Начала» Ньютона, изданные за его счёт. в 1710 году попытался восстановить её по описаниям Паппа).

Откуда взялись названия

Здесь скрыт сюжет, из-за которого термины кажутся школьнику произвольными, а на деле точны.

Греки владели техникой приложения площадей: дан отрезок $p$ и площадь $S$; требуется приложить к $p$ прямоугольник площади $S$. Если получается ровно — это παραβολή (приложение, совпадение). Если приложенный прямоугольник не достаёт до $p$ — ἔλλειψις (недостаток). Если выступает за него — ὑπερβολή (избыток).

Аполлоний обнаруживает, что для каждой из трёх кривых квадрат ординаты $y$ равен площади, прикладываемой к постоянному отрезку $p$ (сегодня — латеральная прямая, latus rectum):

$$\textbf{парабола:}\quad y^{2}=p\,x;$$
$$\textbf{эллипс:}\quad y^{2}=p\,x-\frac{p}{2a}\,x^{2}\quad(\text{недостаёт});$$
$$\textbf{гипербола:}\quad y^{2}=p\,x+\frac{p}{2a}\,x^{2}\quad(\text{выступает}).$$

Эти соотношения Аполлоний называет симптомами кривых — тем, по чему кривую узнают. По существу перед нами уравнения в косоугольных координатах, где ось абсцисс — диаметр кривой, а ось ординат — сопряжённое ему направление. Координатная геометрия за восемнадцать веков до ДекартаРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. — с той разницей, что координаты у Аполлония привязаны к самой кривой и не существуют до неё, тогда как у Декарта сетка задаётся первой, а кривая описывается в ней.

Проверим, что современная запись даёт то же самое. Для эллипса $\dfrac{x'^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ перенесём начало в вершину: $x'=x-a$. Тогда

$$y^{2}=b^{2}\left(1-\frac{(x-a)^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{b^{2}}{a^{2}}\left(2ax-x^{2}\right)=\frac{2b^{2}}{a}x-\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2},$$

и при $p=2b^{2}/a$ это в точности симптом эллипса. Аполлоний прав дословно.

Фокусы, директрисы и зеркало

Книга III содержит фокальные свойства эллипса и гиперболы (термина «фокус» ещё нет — он появится у КеплераИоганн Кеплернемецкий астроном и математик · 1571–1630Вывел законы движения планет из чужих наблюдений, посчитал объём винной бочки способом, из которого через полвека вырастет интеграл, и защищал мать на процессе о колдовстве., от латинского «очаг»); фокус параболы в «Кониках» отсутствует, зато полное описание через фокус и директрису даёт Папп (IV в. н. э.).

Ключевое для физики свойство — оптическое. Докажем его для эллипса, потому что доказательство короткое и красивое.

Пусть $F_1,F_2$ — фокусы, $M$ — точка эллипса, $\ell$ — касательная в $M$. Утверждение: $\ell$ образует равные углы с $MF_1$ и $MF_2$.

Отразим $F_1$ относительно $\ell$ и получим точку $F_1'$. Для любой точки $X\in\ell$ имеем $XF_1+XF_2=XF_1'+XF_2\geqslant F_1'F_2$, причём равенство достигается, когда $X$ лежит на отрезке $F_1'F_2$. С другой стороны, среди точек касательной именно $M$ доставляет минимум суммы $XF_1+XF_2$: все остальные точки $\ell$ лежат вне эллипса, где сумма больше $2a$. Значит, $M$ лежит на отрезке $F_1'F_2$, то есть $F_1'$, $M$, $F_2$ коллинеарны, и углы, которые $MF_1$ и $MF_2$ образуют с $\ell$, равны как углы отражения. $\blacksquare$

Отсюда: луч из одного фокуса эллиптического зеркала соберётся в другом (акустика «шепчущих галерей»); лучи, идущие параллельно оси параболы, соберутся в её фокусе (антенны, прожекторы, солнечные концентраторы); а сама фраза «АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. сжёг римский флот зажигательными зеркалами» — легенда, но с правильной геометрией внутри.

Книга V: почти дифференциальная геометрия

Самая неожиданная часть «Коник» — пятая книга, о нормалях. Аполлоний спрашивает: из данной точки плоскости сколько можно провести к конике отрезков, которые являются для неё наибольшими или наименьшими? Он находит условие, при котором такой отрезок перпендикулярен кривой (то есть является нормалью), считает их количество в зависимости от положения точки — и описывает границу между областями с разным числом нормалей.

Эта граница есть не что иное, как эволюта — множество центров кривизны, астроидоподобная кривая с четырьмя остриями. Двадцать веков спустя её переоткроет ГюйгенсХристиан Гюйгенснидерландский математик, физик и астроном · 1629–1695Написал первый печатный учебник теории вероятностей, изобрёл маятниковые часы, открыл кольца Сатурна и объяснил свет волнами., а понятие кривизны придёт вместе с анализом. Аполлоний добирается сюда без всякого предельного перехода, чистой геометрией — и это, вероятно, самое сильное место греческой математики после Архимеда.

Кривые, которые ждали

Через восемнадцать веков Кеплер обнаружит, что орбита Марса — эллипс с Солнцем в фокусе, а НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. выведет это из закона всемирного тяготения. Обратите внимание на порядок событий: язык был готов задолго до того, как понадобился. Тот же сюжет повторится в этой линии ещё дважды — с тензорами Риччи, дождавшимися ЭйнштейнаАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. за 23 года, и с расслоениями, дождавшимися Янга и Миллса.

Есть и прямое продолжение внутри самой математики. Папп сформулировал задачу о трёх и четырёх прямых: найти геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до двух прямых относится к произведению расстояний до двух других как заданное число. Греки решили её для четырёх прямых (ответ — коника) и застряли. Именно на этой задаче Декарт в 1637 году продемонстрирует силу координатного метода: то, что не поддавалось синтетической геометрии веками, у него сводится к разбору уравнения. Аполлоний оказался последним рубежом, который взяла античная геометрия, и первым, который сдался алгебре.

Задача. Из симптома параболы $y^{2}=px$ выведите её фокальное свойство: отражённый от параболы луч, шедший параллельно оси, проходит через точку $(p/4,\,0)$.
(Указание: касательная в точке $(x_0,y_0)$ имеет вид $yy_0=\tfrac{p}{2}(x+x_0)$; найдите её точку пересечения с осью и убедитесь, что треугольник, образованный фокусом, точкой касания и этой точкой, равнобедренный.)

Следующая точка: Афины — где сосчитают, сколькими способами можно замостить плоскость одинаковыми правильными плитками, и обнаружат, что способов ровно три.