Архимед: арбелос и теорема о ломаной

Книга, дошедшая кружным путём

«Книга лемм» (Liber assumptorum) — пятнадцать предложений, дошедших не по-гречески, а по-арабски: греческий оригинал утрачен, арабский текст известен по переводу круга Сабита ибн Курры (IX век), а Европа прочитала книгу только в 1661 году, в латинском переводе.

Уже само название говорит, что это: не трактат, а леммы — вспомогательные утверждения, заготовки для чего-то большего. И есть ещё одна деталь, которую честнее назвать сразу: внутри текста АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. упоминается в третьем лице. Значит, до нас дошёл не авторский текст, а чья-то компиляция, куда вошли и его результаты, и что-то ещё. Какие из пятнадцати предложений действительно его — вопрос без окончательного ответа.

Арбелос

Возьмите отрезок $AB$, отметьте на нём точку $C$ и постройте три полуокружности по одну сторону: на $AB$, на $AC$ и на $CB$. Фигура, оставшаяся между большой полуокружностью и двумя малыми, называется арбелосом — по-гречески ἄρβηλος, сапожный нож: инструмент такой формы кожевники используют до сих пор.

Первое, что про неё доказано:

Площадь арбелоса равна площади круга, построенного на отрезке $CD$ как на диаметре, где $CD$ — перпендикуляр к $AB$, восставленный в точке $C$ до пересечения с большой полуокружностью.

Проверить это можно в две строки, и обе строки — из школьного курса. Обозначим $AC=2r$, $CB=2s$.

Площадь арбелоса — это большой полукруг минус два малых:

$$\frac{\pi(r+s)^2}{2}-\frac{\pi r^2}{2}-\frac{\pi s^2}{2}=\frac{\pi}{2}\cdot 2rs=\pi rs.$$

Теперь $CD$. Угол $ADB$ опирается на диаметр, значит он прямой — это теорема Фалеса. А в прямоугольном треугольнике высота есть среднее геометрическое между отрезками гипотенузы — это предложение VI.8 «Начал»:

$$CD^2 = AC\cdot CB = 4rs,\qquad CD = 2\sqrt{rs}.$$

Круг на $CD$ как на диаметре имеет радиус $\sqrt{rs}$ и площадь $\pi rs$. То же самое. $\blacksquare$

Круги-близнецы

Второе предложение об арбелосе ещё неожиданнее. Проведём тот же перпендикуляр $CD$ — он делит арбелос на две части, левую и правую, и части эти вообще-то разные. Впишем в каждую по кругу, касающемуся перпендикуляра, большой полуокружности и своей малой.

Эти два круга равны.

Их общий радиус равен $\dfrac{rs}{r+s}$ — половине гармонического среднегодля двух чисел это $\dfrac{2rs}{r+s}$: величина, обратная среднему арифметическому обратных. В школе всплывает в задачах про среднюю скорость туда и обратно чисел $r$ и $s$. Фигура несимметрична, части арбелоса не равны, а вписанные круги совпадают.

С тех пор в арбелосе нашли сотни кругов такого же радиуса; их так и называют — архимедовы круги, и список пополняется до сих пор.

Теорема о ломаной

Второй результат этой точки к арбелосу отношения не имеет и в «Книгу лемм» не входит — он дошёл совсем другим путём.

Пусть $AB$ и $BC$ — две хорды окружности, образующие ломаную, причём $AB > BC$. Пусть $M$ — середина дуги $ABC$, а $MF$ — перпендикуляр, опущенный из $M$ на прямую $AB$. Тогда
$$AF = FB + BC.$$

То есть точка $F$ делит всю ломаную пополам: то, что слева от неё, равно тому, что справа, вместе с изломом.

Доказательство целиком помещается в абзац

Отложим на отрезке $AF$ точку $E$ так, что $AE = BC$.

Треугольники $MAE$ и $MCB$ равны: $MA = MC$ (потому что $M$ — середина дуги $AC$), $AE = CB$ по построению, а углы $\angle MAE$ и $\angle MCB$ равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $MB$.

Из равенства треугольников следует $ME = MB$. Значит, треугольник $MEB$ равнобедренный, и высота $MF$, опущенная на его основание $EB$, делит основание пополам: $EF = FB$.

Остаётся сложить: $AF = AE + EF = BC + FB$. $\blacksquare$

Свидетель по двум делам

Откуда мы вообще знаем про теорему о ломаной, если ни греческого, ни арабского текста Архимеда с ней нет?

От аль-Бируниаль-Бирунихорезмийский учёный-энциклопедист · 973–1048Измерил радиус Земли с одной горы и одного угломера, ошибившись меньше чем на полпроцента, — методом, для которого не нужна экспедиция через полстраны, как у Эратосфена.. В «Книге об определении хорд в круге» он приводит эту теорему, разбирает около двадцати её доказательств — и приписывает её Архимеду.

Запомните это имя: через одну точку мы встретим его снова. Именно аль-Бируни сообщает, что формула площади треугольника по трём сторонам, которую весь мир зовёт героновой, была известна Архимеду за три века до Герона. Один и тот же человек оказался главным свидетелем по двум делам об утраченном приоритете — и оба раза в пользу одного и того же сиракузца.

Зачем это было нужно

Ни за чем. В этом всё дело.

Тот же человек в те же годы считал площадь параболического сегмента и объём шара, строил метательные машины при осаде и оценивал число песчинок во Вселенной. Арбелос не нужен ни для чего: ни для астрономии, ни для механики, ни для торговли. Это фигура, придуманная ради самой фигуры.

На нашей карте это первый такой случай — и первый признак того, что элементарная геометрия способна существовать как самостоятельное занятие, а не как инструмент. Через девятнадцать веков из этого вырастет целая дисциплина с журналами и конкурсами, а сегодня — олимпиадные задачи.

Есть в «Книге лемм» и ещё одна вещь, о которой стоит знать восьмикласснику: предложение 8 делит произвольный угол на три равные части. Не циркулем и линейкой — линейкой с двумя метками, которую подгоняют до нужного положения. Приём называется невсиспо-гречески «вставка»: отрезок заданной длины вдвигают между двумя линиями так, чтобы его продолжение прошло через данную точку. Линейку при этом двигают и поворачивают, чего построение циркулем и линейкой не допускает, «вставка», и он показывает, что греки прекрасно понимали разницу: задача о трисекции неразрешима не вообще, а именно тем ограниченным набором средств, который они сами себе назначили.

Следующая точка: Александрия — где к прямой и окружности прибавятся ещё три кривые и получат имена, которыми мы пользуемся до сих пор.