Евклид: площадь без числа

Две точки в одном городе и в одном году

На карте это уже вторая александрийская точка, и обе про одну книгу. Соседняя — про основание «Начал»: определения, постулаты, трещина в пятом. Эта — про содержание первых шести книг, то есть про то, что в школе и называется геометрией.

Разделить их стоило вот почему. Аксиоматика Евклида — сюжет о том, как математика устроена. Книги I–VI — сюжет о том, что́ она в те годы умела. Второе школьнику ближе: он проходит их целиком, только не знает об этом.

Что в первых шести книгах

Книга	О чём	Что из неё в школе
I	Прямые, углы, треугольники, параллельные, площади	Три признака равенства (I.4, I.8, I.26), сумма углов, теорема Пифагора (I.47) и обратная (I.48)
II	«Геометрическая алгебра»: тождества в виде разрезанных прямоугольников	$(a+b)^2$, разность квадратов, но нарисованные, а не написанные
III	Окружность	Вписанный угол, касательная, произведение отрезков хорд (III.35) и секущих (III.36)
IV	Вписанные и описанные многоугольники	Построение правильного пятиугольника
V	Теория отношений Евдокса	Ничего — и это потеря
VI	Подобие	Теорема Фалеса (VI.2), биссектриса (VI.3), соотношения в прямоугольном треугольнике (VI.8)

Шести книг хватает на весь курс с седьмого по девятый класс. Дальше у Евклида идут числа (VII–IX), несоизмеримость (X) и стереометрия (XI–XIII).

Главная странность: площадь — не число

У Евклида нигде не написано $S = ab$. И не потому, что не догадались.

Он вообще не умножает длину на длину. Вместо «произведения» у него «прямоугольник, заключённый между отрезками $AB$ и $BC$» — то есть фигура, а не число. Теорема Пифагора в его формулировке звучит так: квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах, — и «равен» означает равновелик как фигурау Евклида это значит: фигуры можно разрезать на попарно равные части либо достроить равными частями до равных фигур — про числа речь не идёт вовсе, а не «одно число равно другому».

Отсюда следствие, которое дожило до нашего языка. Произведение двух отрезков — квадрат, трёх — куб, а четырёх… ничего: четвёртого измерения нет, значит и выражения нет. Именно поэтому $a^2$ мы до сих пор читаем «$a$ в квадрате», а $a^3$ — «$a$ в кубе». Отвязать степень от размерности сумеют только Виет и Декарт — через восемнадцать веков.

Откуда взялся этот запрет

Причина известна: несоизмеримость.

Пока в школе Пифагора считали, что любые два отрезка относятся как целые числа, «число» годилось для измерения чего угодно. Открытие, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, выбило эту опору: для отношения диагонали к стороне никакого числа у греков не было — дробей не хватало, а вещественных чисел ещё две тысячи лет не будет.

Выход нашёл ЕвдоксЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений., и он изложен в V книге. Определение V.5 говорит, когда отношение $a:b$ равно отношению $c:d$: если для любых натуральных $m$ и $n$ из $ma > nb$ следует $mc > nd$, из $ma = nb$ следует $mc = nd$, и из $ma < nb$ следует $mc < nd$.

Прочитайте это ещё раз. Отношение задаётся тем, как оно делит все дроби $n/m$ на те, что меньше, и те, что больше. Это дедекиндово сечение, записанное за двадцать два века до Дедекинда, — и сам Дедекинд в предисловии честно на V книгу ссылается.

Ценой стала громоздкость. Теория величин работает безупречно, но пользоваться ею тяжело, и школа в итоге вернулась к числам.

Шестая книга: вся школьная планиметрия за один заход

Подобие Евклид строит на теории отношений, и потому VI книга — самая плотная. Три предложения из неё школьник использует постоянно, чаще всего не зная номеров.

VI.1. Треугольники с общей высотой относятся как их основания. Отсюда выходит почти всё остальное.

VI.2. Прямая, параллельная стороне треугольника, делит две другие стороны пропорционально. В русской традиции это и есть теорема Фалеса; в западной так называют другое утверждение — про угол, опирающийся на диаметр. Путаница разобрана в точке о Фалесе.

VI.3. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

VI.8 и следствие к нему. Высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник на два, подобных ему и друг другу. Отсюда сразу:

$$h^2 = a_c\, b_c, \qquad a^2 = a_c\, c, \qquad b^2 = b_c\, c,$$

где $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов на гипотенузу. То самое «высота есть среднее геометрическое между отрезками гипотенузы», которое в учебнике 8 класса появляется без всякой родословной. Родословная — вот она, предложение VI.8.

Как из VI.1 получается VI.3

Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$, точка $D$ лежит на $BC$.

Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую высоту, опущенную из $A$ на прямую $BC$. По VI.1 их площади относятся как основания:

$$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{DC}.$$

С другой стороны, посмотрим на те же два треугольника с другой стороны: у них основания $AB$ и $AC$, а высоты — расстояния от точки $D$ до прямых $AB$ и $AC$. Но $D$ лежит на биссектрисе, а точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит эти высоты равны, и

$$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{AB}{AC}.$$

Приравняем правые части. $\blacksquare$

Что школа выиграла и что потеряла

Выиграла простоту: $S=ab$ короче любого рассуждения о равновеликих фигурах, и восьмиклассник считает площади, не задумываясь.

Потеряла — вопрос. Ученик, которому с первого дня сказали, что площадь есть число, никогда не спросит, почему это законно и что вообще значит «измерить». А греки на этот вопрос две сотни лет искали ответ, и ответ Евдокса оказался таким глубоким, что понадобился заново в XIX веке.

Следующая точка: Сиракузы — где тот же человек, что считал объёмы и строил военные машины, займётся фигурой из трёх полуокружностей просто так, без всякой цели.