Архимед: квадратура параболы и «Метод»

Квадратура параболы

Утверждение. Площадь сегмента параболы, отсекаемого хордой, равна $\tfrac43$ площади вписанного треугольника, у которого та же хорда — основание, а вершина — точка параболы, наиболее удалённая от хорды.

Как строится приближение. Вписываем треугольник $T$. Остаются два меньших сегмента; в каждый вписываем треугольник по тому же правилу. Ключевая лемма Архимеда: суммарная площадь двух новых треугольников равна $T/4$. На следующем шаге добавится $T/16$, затем $T/64$ и так далее.

$$S = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \cdots = T\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^{n}} = T \cdot \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}T.$$

Так это записали бы мы. Архимед так писать не мог — бесконечная сумма запрещена. Он доказывает конечное тождество:

$$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{4^{k}} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^{n}} = \frac{4}{3},$$

то есть частичная сумма плюс явно выписанная «добавка» дают ровно $4/3$. Проверьте это по индукции — упражнение на две строки. Дальше добавка делается меньше любого $\varepsilon$, и двойное приведение к нелепости завершает дело.

Обратите внимание: это полностью строгое вычисление того, что мы называем $\int$. Ошибок в нём нет. Античность действительно умела интегрировать — просто каждый раз заново, с нуля, с индивидуальным трюком.

Шар

$$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}, \qquad S = 4\pi r^{2}.$$

Отсюда любимый результат самого Архимеда: шар составляет ровно две трети описанного цилиндра — и по объёму, и по полной поверхности. Он просил высечь эту фигуру на своей могиле; Цицерон, будучи квестором Сицилии в 75 г. до н. э., нашёл заброшенное надгробие по этому признаку.

Проверим современным способом. Цилиндр: $V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, и $\tfrac23 \cdot 2\pi r^3 = \tfrac43\pi r^3$. $\checkmark$ Поверхность цилиндра с крышками: $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$, и $\tfrac23\cdot 6\pi r^2 = 4\pi r^2$. $\checkmark$

Число π

В «Измерении круга» Архимед последовательным удвоением от шестиугольника до 96-угольника (вписанного и описанного) получает

$$3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}, \qquad \text{то есть}\quad 3{,}14085 < \pi < 3{,}14286.$$

Это первая в истории оценка с гарантированной погрешностью — не приближение, а двусторонняя граница. Первый в мире численный метод с контролем ошибки.

«Метод»: как он на самом деле думал

Трактат «О механических теоремах, метод», адресованный ЭратосфенуЭратосфен Киренскийгреческий математик, географ и филолог · около 276–194 до н. э.Заведующий Александрийской библиотекой придумал способ выписывать простые числа, которым пользуются до сих пор без изменений, — и измерил окружность Земли по разнице длины теней, ошибившись на считанные… в Александрию, — документ поразительной честности. Архимед объясняет: строгие доказательства из его книг получены после того, как ответ уже найден совсем другим способом.

Способ такой. Фигура мысленно разрезается на бесконечно тонкие слои («прямые» для плоской, «плоскости» для телесной). Слои развешиваются на воображаемом рычаге, и по закону равновесия

$$F_1 \ell_1 = F_2 \ell_2$$

площадь или объём определяются как «вес» фигуры относительно фигуры известной.

Это метод неделимых за девятнадцать веков до Кавальери, причём Архимед прямо оговаривает: доказательством это не является, но даёт ответ, который затем доказывается исчерпыванием.

Более того — недавние исследования (Ривел Нетц и соавторы) показывают, что в предложении 14 «Метода» Архимед выстраивает взаимно однозначное соответствие между двумя бесконечными совокупностями отрезков и рассуждает об их «равенстве». Если чтение верно, это единственное место во всей античной математике, где актуальная бесконечность используется по существу.

Судьба текста

• X век: константинопольский писец копирует трактаты Архимеда на пергамент.
• 1229 год: пергамент смывают, разрезают, складывают вдвое и записывают поверх молитвенник — так получается палимпсест.
• 1899: в стамбульском каталоге Пападопулос-Керамевс публикует несколько строк непонятного математического текста.
• 1906: датский филолог Йохан Людвиг Гейберг приезжает в Константинополь, читает текст под лупой и опознаёт Архимеда. В том числе — «Метод», «О плавающих телах» по-гречески и «Стомахион», не известные больше ниоткуда.
• Далее: исчезновение в 1920-е, подделанные византийские миниатюры поверх текста, аукцион Christie's 1998 года (2 млн долларов), передача в Балтиморский музей Уолтерса и десятилетие мультиспектральной и рентгенофлуоресцентной съёмки, вернувшей ещё многие страницы.

Единственный источник, из которого мы знаем, как думал величайший математик античности, дошёл до нас случайно, дважды пережив уничтожение.

Прочее

• Спираль $r = a\varphi$: площадь первого витка равна трети площади круга радиуса $2\pi a$. По существу — вычисление $\int_0^{2\pi}\tfrac12 (a\varphi)^2 d\varphi$.
• «Псаммит» («Исчисление песчинок»): система обозначения чисел до $10^{8\cdot10^{16}}$, чтобы показать, что число песчинок во Вселенной конечно и записываемо. Заодно — единственное свидетельство о гелиоцентрической системе Аристарха.
• Суммы $\sum k$ и $\sum k^2$ — необходимый комбинаторный инструмент квадратур.

Следующая точка: Керала, ок. 1400 — анализ появляется совсем не там, где мы привыкли его искать.