Ибн аль-Хайсам: суммы четвёртых степеней

Человек

Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам (ок. 965 — ок. 1040), в латинской традиции Альхазен, родился в Басре, работал в Каире при халифе аль-Хакиме.

Биография его известна прежде всего по эпизоду с Нилом. Он объявил, что может построить плотину, регулирующую разливы, был вызван халифом в Египет, добрался до места будущей стройки (по преданию — район Асуана), оценил задачу и понял, что она неисполнима наличными средствами. Халиф аль-Хаким был правителем непредсказуемым и опасным; по распространённой версии, Ибн аль-Хайсам притворился безумным и в этом качестве провёл под домашним арестом годы вплоть до смерти халифа в 1021 году. Именно в эти годы, судя по датировкам, написана большая часть его работ.

Главный труд — «Китаб аль-Маназир» («Книга оптики», ок. 1011–1021), где изложена верная теория зрения (свет идёт от предмета в глаз, а не наоборот), геометрическая оптика, теория преломления, камера-обскура, и, что важнее всего, метод: гипотеза проверяется контролируемым экспериментом. Латинский перевод «Perspectiva» читали Роджер Бэкон, Витело, КеплерИоганн Кеплернемецкий астроном и математик · 1571–1630Вывел законы движения планет из чужих наблюдений, посчитал объём винной бочки способом, из которого через полвека вырастет интеграл, и защищал мать на процессе о колдовстве..

Нас здесь интересует его математика.

Задача

Архимед вычислил объём параболоида, полученного вращением параболы вокруг её оси (Архимед). Ибн аль-Хайсам берёт другое тело: вращение параболического сегмента вокруг прямой, перпендикулярной оси — вокруг основания сегмента.

Разница не косметическая. Считаем современными средствами. Пусть парабола $y^{2}=x$, сегмент от вершины до $x=a$; вращаем вокруг прямой $x=a$. Сечение на высоте $y$ — круг радиуса $a - y^{2}$:

$$V = \pi\int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}\left(a-y^{2}\right)^{2}dy = \pi\int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}\left(a^{2}-2ay^{2}+y^{4}\right)dy.$$

Вот оно. В подынтегральном выражении стоит $y^{4}$. Для архимедова случая (вращение вокруг оси) хватало сумм квадратов; здесь нужны суммы четвёртых степеней, а их до Ибн аль-Хайсама никто не вычислял.

Формула

$$\sum_{k=1}^{n}k^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)\left(3n^{2}+3n-1\right)}{30}.$$

Ибн аль-Хайсам записывал это, разумеется, не так — алгебраической символики не существовало, всё излагалось словами и через геометрические построения. Но результат верен, и получен он рекуррентно: сначала выводится тождество

$$(n+1)\sum_{k=1}^{n}k^{p} = \sum_{k=1}^{n}k^{p+1} + \sum_{m=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{m}k^{p}\right),$$

позволяющее подниматься от степени $p$ к степени $p+1$. Начав с $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$, он последовательно получает $\sum k^{2}$, $\sum k^{3}$, $\sum k^{4}$.

Доказательство ведётся индукцией — по существу, полной математической индукцией, за шесть веков до того, как ПаскальБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. сформулирует принцип явно (Паскаль в линии вероятностей). Это одно из ранних отчётливых применений метода в истории.

Ключевая оценка для дальнейшего:

$$\sum_{k=1}^{n}k^{4} \approx \frac{n^{5}}{5} \quad\text{при больших } n,$$

то есть в точности $\int_0^1 x^4 dx = \frac15$ в дискретной форме.

Вычисление объёма

Ибн аль-Хайсам вписывает в тело вращения ступенчатую фигуру из $n$ цилиндров, суммирует их объёмы (тут и нужна формула), переходит к пределу методом исчерпывания и получает:

$$V = \frac{8}{15}\,V_{\text{цилиндра}},$$

где цилиндр — описанный вокруг тела.

Проверим. Наш интеграл:

$$V = \pi\left[a^{2}y - \frac{2ay^{3}}{3}+\frac{y^{5}}{5}\right]_{-\sqrt a}^{\sqrt a} = 2\pi a^{5/2}\left(1-\frac23+\frac15\right) = 2\pi a^{5/2}\cdot\frac{15-10+3}{15} = 2\pi a^{5/2}\cdot\frac{8}{15}.$$

Описанный цилиндр имеет радиус $a$ и высоту $2\sqrt a$: $V_{\text{цил}} = \pi a^{2}\cdot2\sqrt a = 2\pi a^{5/2}$.

Отношение: ровно $8/15$. $\checkmark$

Красиво и проверяемо за пять минут. Для урока это отличный сюжет: результат, которого нет у АрхимедаАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., полученный на тысячу лет раньше интегрального исчисления.

Что ещё

• «Задача Альхазена»: дан сферический (или круговой) зеркало, источник и наблюдатель — найти точку отражения. Сводится к уравнению четвёртой степени; Ибн аль-Хайсам решил её пересечением гиперболы с окружностью. Алгебраическое решение в радикалах получил только Питер Нойманн в 1997 году, доказав заодно, что циркулем и линейкой задача не решается.
• Попытка доказать пятый постулат ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. через «четырёхугольник Ибн аль-Хайсама — Ламберта»: рассуждение содержит понятие движения, чуждое евклидовой системе, но исторически это шаг к неевклидовой геометрии через ХайямаОмар Хайямперсидский математик, астроном и поэт · 1048–1131В Европе его знают как автора четверостиший о вине и бренности; на востоке он был прежде всего математиком, решившим кубические уравнения за пятьсот лет до итальянцев., ат-ТусиНасир ад-Дин ат-Тусиперсидский математик, астроном и философ · 1201–1274Пережил монгольское нашествие, уговорил Хулагу-хана построить обсерваторию — и написал трактат о параллельных, который через три века под чужой редакцией попал в Европу и запустил там осаду пятого постулата. и СаккериДжованни Саккериитальянский иезуит, логик и математик · 1667–1733Вывел десятки теорем неевклидовой геометрии, пытаясь довести её до противоречия, — и, не найдя противоречия, объявил, что нашёл..
• Работы о параболических зеркалах, о квадратуре луночек, об измерении высот.

Зачем эта точка на карте

Она закрывает шестнадцать веков. Между Архимедом (около −250) и МадхавойМадхава из Сангамаграмыиндийский математик и астроном · около 1340 — около 1425Получил ряды для арктангенса, синуса и косинуса за триста лет до Тейлора и Лейбница, посчитал π с одиннадцатью верными знаками — и всё это в Керале, откуда результаты в Европу не дошли. (около 1400) на линии сейчас нет ничего — пустота, из которой у читателя складывается ложное впечатление, будто анализ дремал от античности до Ренессанса. Между тем в этот промежуток укладываются: суммы степеней и кубатуры Ибн аль-Хайсама, работа Сабита ибн Курры (IX век) над квадратурой параболы, вычисление $\pi$ с шестнадцатью знаками у аль-Каши (Самарканд, 1424), тригонометрические таблицы Улугбека.

И она закрывает географическую дыру. Каир — единственная точка на линии южнее Сиракуз и первая точка исламского мира. Без неё карта рассказывает историю анализа как исключительно европейскую, что попросту неверно.