Орем: первый график и расходимость гармонического ряда

Человек

Николай Орем (ок. 1320–1382) — магистр Наваррской коллегии Парижского университета, советник короля Карла V, переводчик АристотеляАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы. на французский, епископ Лизьё. Одна из самых сильных научных голов европейского Средневековья и, пожалуй, самая недооценённая.

Помимо того, о чём пойдёт речь, ему принадлежат: рассуждение о возможности суточного вращения Земли (с разбором и опровержением всех известных возражений — за два века до Коперника, хотя сам он в итоге вращение отверг по богословским соображениям); первое употребление дробных степеней; трактат о деньгах, предвосхищающий закон Грешема; и аргумент о том, что отношение периодов небесных тел, скорее всего, иррационально, а потому точные конфигурации никогда не повторяются — удар по астрологии.

Широты форм: рождение графика

Трактат «Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum» («О конфигурациях качеств и движений», ок. 1350).

Схоластическая физика того времени обсуждала «интенсию и ремиссию форм» — усиление и ослабление качеств: скорости, теплоты, белизны. Обсуждала словами, и рассуждения выходили громоздкими.

Орем предлагает изображать. Вдоль горизонтальной прямой откладывается longitudo (протяжённость — время или расстояние), перпендикулярно вверх — latitudo (широта, то есть величина качества в данной точке). Концы перпендикуляров образуют линию.

Это график функции. Первый в истории. За триста лет до координат ДекартаРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. и ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей..

Орем классифицирует получающиеся фигуры: «равномерная» форма (горизонтальная линия — постоянная величина), «равномерно-неравномерная» (наклонная прямая — линейный рост), «неравномерно-неравномерная» (кривая). И, что принципиально, он утверждает: площадь фигуры представляет суммарное количество качества.

Иначе говоря, если по вертикали отложена скорость, то площадь под графиком есть пройденный путь. Это

$$s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$$

в геометрической форме — за триста лет до Барроу.

Теорема о среднем значении скорости

Классический результат оксфордских «мертонских калькуляторов» (Гейтсбери, Хейтсбери, ок. 1330), который Орем доказал графически.

Утверждение. Тело, движущееся равноускоренно, проходит за данное время то же расстояние, что тело, движущееся всё это время с постоянной скоростью, равной средней между начальной и конечной.

Доказательство Орема. Нарисуем график скорости: прямая от $v_0$ до $v_1$. Площадь под ней — трапеция. Проведём горизонталь на уровне $\frac{v_0+v_1}{2}$: она отсекает от трапеции треугольник сверху и оставляет равный ему треугольник снизу. Площади равны, значит пути равны. $\blacksquare$

Современная запись:

$$s = \int_{0}^{T}\left(v_{0}+at\right)dt = v_{0}T+\frac{aT^{2}}{2} = \frac{v_{0}+v_{1}}{2}\cdot T, \qquad v_1 = v_0+aT.$$

Доказательство Орема — буквально то же самое, только вместо интеграла площадь трапеции. И это доказательство на два с половиной века раньше ГалилеяГалилео Галилейитальянский физик, астроном и математик · 1564–1642Объяснил придворным игрокам, почему при трёх костях десятка выпадает чаще девятки, — и закрыл вопрос, открытый за триста пятьдесят лет до него. Заодно сказал, что книга природы написана на языке математики., у которого тот же рисунок появится в «Беседах» (1638) при выводе закона свободного падения. Знал ли Галилей о мертонской традиции — вопрос дискуссионный; тексты в Италии были доступны.

Расходимость гармонического ряда

Это, пожалуй, самая школьная жемчужина всего Средневековья. «Quaestiones super Geometriam Euclidis», около 1350 года.

Утверждение.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots = \infty.$$

Доказательство Орема. Сгруппируем слагаемые по степеням двойки:

$$1 + \underbrace{\frac12}_{\geqslant 1/2} + \underbrace{\left(\frac13+\frac14\right)}_{\geqslant\, \frac14+\frac14 \,=\, 1/2} + \underbrace{\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)}_{\geqslant\, 4\cdot\frac18\, =\, 1/2} + \underbrace{\left(\frac19+\cdots+\frac{1}{16}\right)}_{\geqslant\, 8\cdot\frac{1}{16}\, =\, 1/2} + \cdots$$

В $k$-й группе $2^{k-1}$ слагаемых, каждое не меньше $\dfrac{1}{2^{k}}$, значит сумма группы не меньше $\dfrac12$. Групп бесконечно много, значит сумма превосходит любое число. $\blacksquare$

Формально:

$$\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac1n \geqslant 1+\frac{m}{2}.$$

Насколько медленно. Оценка Орема гарантирует превышение десятки к $2^{18}=262\,144$ слагаемым. На деле хватает 12 367 — оценка груба, но она и не претендует на точность, ей достаточно неограниченности.

Точная асимптотика (Эйлер):

$$\sum_{n=1}^{N}\frac1n = \ln N + \gamma + O\!\left(\frac1N\right), \qquad \gamma\approx0{,}5772.$$

Отсюда видно, почему рост так мучителен: чтобы сумма достигла 10, нужно $N\approx e^{10-\gamma}\approx 12\,400$ (сходится с прямым подсчётом); чтобы достигла 100 — уже $N\approx e^{100}\approx 10^{43}$ слагаемых, больше, чем атомов в наблюдаемой Вселенной.

Урок, который стоит проговорить: из того, что слагаемые стремятся к нулю, не следует сходимость ряда. Это первое контринтуитивное утверждение теории рядов и, вероятно, самое полезное. Доказательство Орема укладывается в пять минут и доступно восьмикласснику.

Замечательно, что этот результат был забыт и переоткрыт только Пьетро Менголи (1650) и братьями БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. (1689) — через три с лишним века.

Ещё один ряд

Орем суммирует и такие ряды:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}} = \frac12+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots = 2.$$

Метод геометрический: он раскладывает фигуру на бесконечно много частей и перекладывает их. По существу это трюк с производной геометрической прогрессии:

$$\sum_{n\geqslant1} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}}, \qquad x=\tfrac12 \Rightarrow \frac{1/2}{1/4}=2.$$

Почему его не заметили

Тексты Орема на латыни ходили в рукописях; печатной судьбы у большинства не было. Схоластическая терминология («широты форм», «интенсия и ремиссия») к XVII веку стала выглядеть архаичной, и труды средневековых «калькуляторов» списали как бесплодное умствование — оценка, которую историки науки (Дюэм, Клагетт) пересматривали весь XX век.