Джованни Саккери

Саккери — самый обидный случай в истории математики: человек прошёл почти весь путь до открытия и в последний момент отказался поверить собственным выкладкам.

Иезуит

Вступил в орден в двадцать лет, преподавал философию и богословие в Турине, потом математику в Павийском университете, где и оставался до смерти. Его книга по логике «Logica demonstrativa» (1697) интересна сама по себе: там разбирается приём доказательства от противного, доведённый до техники, — и именно им он потом воспользовался в геометрии.

«Евклид, очищенный от всех изъянов»

Книга вышла в 1733 году, за несколько месяцев до его смерти. План был такой: взять четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию (ту самую фигуру, которую за шестьсот лет до него построил Хайям, а следом ат-Туси), и разобрать три случая для верхних углов.

• Гипотеза тупого угла. Саккери её опроверг — корректно, опираясь на предположение о бесконечности прямой. (Сегодня мы знаем: эта гипотеза даёт сферическую геометрию, где прямые конечны.)
• Гипотеза прямого угла. Это Евклид.
• Гипотеза острого угла. Здесь противоречия не находилось.

И Саккери начал выводить следствия. Сумма углов треугольника меньше $\pi$; дефект пропорционален площади; подобных фигур разного размера не бывает; две прямые могут не пересекаться и при этом расходиться. Он получил десятки теорем — по существу первые теоремы геометрии Лобачевского, за девяносто три года до неё.

А потом написал, что гипотеза острого угла «противна природе прямой линии», и объявил её опровергнутой. Аргумент был не математический, а интуитивный: у него получалось, что две прямые имеют общий перпендикуляр в бесконечно удалённой точке, и это его не устроило.

Судьба книги

Книгу почти забыли. Ламберт и Лежандр шли тем же путём, по-видимому, ничего о ней не зная. Заново её открыл в 1889 году итальянец Эудженио Бельтрами — тот самый Бельтрами, который в 1868 году доказал непротиворечивость новой геометрии моделью на псевдосфере.

Читать Саккери сегодня странно: перед вами человек, который построил новый мир, добросовестно описал его и в последней главе объявил несуществующим. Расстояние между «вывести следствия» и «признать их правомерными» и оказалось той самой пропастью, которую Лобачевский, Бойяи и Гаусс перешли.