Модель Бельтрами: непротиворечивость

Что оставалось недоказанным

К 1860-м годам ситуация выглядела так. ЛобачевскийНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. и БойяиЯнош Бойяивенгерский математик · 1802–1860«Из ничего я создал новый, иной мир» — так он написал отцу о неевклидовой геометрии. Гаусс ответил, что думал то же самое сорок лет; Бойяи счёл это кражей и больше почти ничего не напечатал. вывели из отрицания пятого постулата сотни согласованных теорем и не нашли противоречия. Но «не нашли» — не «нет»: противоречие могло скрываться на следующем шаге. Пока это не исключено, гиперболическая геометрия остаётся любопытной гипотезой, а не наукой.

Нужен был инструмент нового типа, и его придумал Эудженио Бельтрами (1835–1900) — профессор рациональной механики Болонского университета (в Павию он переедет только в 1876 году, отчего эту работу иногда ошибочно приписывают Павии).

Псевдосфера

Отправной точкой послужили работы Фердинанда Миндинга (Дерпт, 1839–1840) о поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Миндинг вычислил на них тригонометрические соотношения и напечатал их — не заметив, что это в точности формулы Лобачевского.

Простейшая такая поверхность — псевдосфера, получаемая вращением трактрисы

$$x=a\left(\ln\tg\frac{t}{2}+\cos t\right),\qquad z=a\sin t$$

вокруг оси. Её гауссова кривизна постоянна и равна $-1/a^{2}$.

Бельтрами показывает: если на псевдосфере считать «прямыми» геодезические, то выполняются все теоремы геометрии Лобачевского — та же формула угла параллельности, та же тригонометрия, та же связь площади с дефектом. Гиперболическая планиметрия оказывается не фантазией, а описанием вполне обычной поверхности в обычном евклидовом пространстве.

Логический ход, изменивший математику

Дальше — рассуждение, ценность которого выше конкретной геометрии.

Пусть в геометрии Лобачевского выведено противоречие: доказаны утверждение $A$ и его отрицание. Переведём весь вывод на язык модели: «прямая» → «геодезическая псевдосферы», «расстояние» → «длина геодезической» и так далее. Каждый шаг вывода превратится в шаг рассуждения о поверхности в евклидовом пространстве. Значит, противоречие обнаружится и в евклидовой геометрии.

$$\text{гиперболическая геометрия противоречива}\;\Longrightarrow\;\text{евклидова противоречива}.$$

Контрапозиция: если евклидова геометрия непротиворечива, то непротиворечива и гиперболическая. А раз так, пятый постулат недоказуем — иначе его отрицание вело бы к противоречию.

Это первое в истории доказательство независимости аксиомы через построение модели. Приём окажется универсальным. Через тридцать лет Гильберт построит модели, доказывающие независимость аксиом своей системы; в 1930-е годы ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет., а в 1963-м Коэн ровно этим методом покажут, что континуум-гипотеза не зависит от аксиом теории множеств (точка о них стоит в линии логики). Родословная приёма ведёт сюда, в Болонью 1868 года.

Изъян псевдосферы и как его обошли

У модели есть недостаток, который Бельтрами понимал: псевдосфера моделирует не всю плоскость Лобачевского, а лишь её кусок. У неё есть острый край, за который поверхность не продолжается.

Это не случайность. В 1901 году ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. доказал: в трёхмерном евклидовом пространстве не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны. Плоскость Лобачевского целиком в наше пространство не вкладывается — значит, её модель обязана быть абстрактной.

Такие модели Бельтрами дал в той же работе и во второй статье того же года — «Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante», где рассматриваются пространства любого числа измерений.

Модель в круге (Бельтрами — КлейнаФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики.). Берём открытый круг. «Точки» — точки круга, «прямые» — хорды (без концов). Расстояние задаётся через двойное отношение: если хорда через $P$ и $Q$ упирается в границу в точках $A$ и $B$, то

$$d(P,Q)=\frac{k}{2}\left|\ln\frac{|AP|\cdot|BQ|}{|AQ|\cdot|BP|}\right| .$$

Граница круга — «бесконечность»: приближаясь к ней, точка уходит на бесконечное расстояние. Здесь сразу видно, почему через точку вне «прямой» проходит бесконечно много непересекающих её «прямых»: достаточно нарисовать хорду и точку вне неё, и веер хорд через эту точку, не задевающих первую, очевиден.

Модель в верхней полуплоскости (ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага.). Точки — комплексные числа с $\operatorname{Im}z>0$, а измерение задаётся метрикой

$$ds^{2}=k^{2}\,\frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}} .$$

Геодезические здесь — вертикальные лучи и полуокружности с центром на оси $Ox$. Проверить это несложно для вертикали: путь из $(x_0,y_1)$ в $(x_0,y_2)$ имеет длину

$$\int_{y_1}^{y_2}\frac{k\,dy}{y}=k\ln\frac{y_2}{y_1},$$

а любой отклоняющийся путь длиннее, потому что добавляет $dx^{2}$ к подынтегральному выражению. Отсюда видно и то, как устроена «бесконечность»: чтобы дойти до оси $Ox$, нужно бесконечное расстояние.

Элемент площади в этой метрике равен $dA=k^{2}\dfrac{dx\,dy}{y^{2}}$. Посчитаем площадь идеального треугольника — с вершинами $-1$, $1$ и $\infty$; его стороны суть две вертикали $x=\pm1$ и полуокружность $x^{2}+y^{2}=1$. При $k=1$:

$$S=\int_{-1}^{1}\!\!\int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{\infty}\frac{dy\,dx}{y^{2}}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x\Big|_{-1}^{1}=\pi .$$

Треугольник с бесконечными сторонами имеет конечную площадь $\pi k^2$ — ровно то максимальное значение, которое предсказывала формула Ламберта — Лобачевского $S=k^{2}(\pi-\alpha-\beta-\gamma)$ при всех углах, равных нулю. Модель и теория сошлись.

Главное достоинство модели Пуанкаре — конформность: углы в ней измеряются как обычно, поэтому чертёж выглядит правдоподобно. Именно этим воспользовался Мауриц ЭшерМауриц Корнелис Эшернидерландский художник-график · 1898–1972Художник, которому не хватило математики: он самостоятельно переоткрыл семнадцать групп симметрии, а потом получил от Коксетера картинку и по ней разобрался, как рисовать бесконечность в круге. в гравюрах «Circle Limit», где ангелы и рыбы одинакового гиперболического размера кажутся уменьшающимися к краю круга.

Кто что сделал

История моделей часто пересказывается путано, поэтому — сводка.

Автор	Год	Что именно
Миндинг	1839–40	формулы на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (смысла не заметил)
Бельтрами	1868	псевдосфера и круговая модель; вывод о непротиворечивости
КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы.	1859	метрика через двойное отношение в проективной геометрии
Клейн	1871	соединил метрику Кэли с моделью в круге, дал название «гиперболическая геометрия»
Пуанкаре	1882	конформные модели (круг и полуплоскость), связь с фуксовыми функциями

Пуанкаре пришёл к своей модели не из интереса к пятому постулату, а из теории автоморфных функций, и позже описал момент открытия как классический пример внезапного озарения: он ставил ногу на подножку омнибуса в Кутансе, когда понял, что преобразования, с которыми он работал, — движения геометрии Лобачевского.

Чем это кончилось для всех

Лобачевский умер в 1856 году, Бойяи — в 1860-м. Ни один из них не узнал, что был прав. ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. умер в 1855-м, так и не напечатав ни строки по этому поводу.

К 1870-м неевклидова геометрия из ереси превращается в раздел математики; ещё через тридцать лет обнаруживается, что она нужна физике; ещё через сто — что она удобна для машинного обучения. Двухтысячелетняя история пятого постулата заканчивается тем, что постулат оказался не истиной и не ложью, а выбором, и от выбора зависит, о каком пространстве идёт речь.

Задача. В модели верхней полуплоскости при $k=1$ найдите расстояние между точками $i$ и $2i$, а затем между $i$ и $1+i$.
(Ответ: первое — $\ln 2\approx0{,}693$, прямо по формуле для вертикали. Второе требует геодезической-полуокружности с центром на оси; результат $\operatorname{arch}\left(1+\frac{|z_1-z_2|^2}{2y_1y_2}\right)=\operatorname{arch}\frac32\approx0{,}962$.)

Следующая точка: Эрланген — где двадцатитрёхлетний профессор объяснит, откуда берётся множественность геометрий, одним словом: «группа».