«Это не математика, это теология»

Задача: теория инвариантов

К 1880-м годам теория инвариантов была самой модной и самой вычислительной областью алгебры.

Что это. Возьмём форму (однородный многочлен) от нескольких переменных, например бинарную квадратичную $f=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$. Подействуем на переменные линейной заменой $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. Коэффициенты $a,b,c$ преобразуются по некоторому закону.

Инвариант — многочлен от коэффициентов, который при такой замене умножается лишь на степень $\det M$. Для нашей формы это дискриминант:

$$D = ac-b^{2} \quad\longmapsto\quad (\det M)^{2}\left(ac-b^{2}\right).$$

Смысл: инварианты — это геометрические свойства, не зависящие от системы координат. Вырожденность коники, гармоническое отношение, кривизна — всё это инварианты.

Основная задача. Для формы данной степени от данного числа переменных существует бесконечно много инвариантов (произведения и суммы инвариантов снова инварианты). Вопрос: есть ли конечный набор, через который выражаются все остальные? Конечный базис.

Ответ был известен для нескольких частных случаев:

• бинарные формы степени 2, 3, 4, 5, 6 — Гордан, Клебш, Сильвестр (1860–70-е);
• случай степени 6 потребовал у Гордана вычислений, занявших годы; он нашёл 26 базисных инвариантов;
• степень 7 и выше — никто не смог. Вычисления росли катастрофически.

Пауль Гордан (Эрланген), которого звали «королём теории инвариантов», был непревзойдённым мастером этих вычислений. Его метод: строить инварианты явно, шаг за шагом, комбинаторными операциями, пока не получится замкнутая система.

Гильберт

Давид Гильберт (1862–1943), уроженец Кёнигсберга, в 1888 году — двадцатишестилетний приват-доцент тамошнего университета. Он объезжает математические центры Германии, беседует с КлейномФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики., Гордана и другими, возвращается — и решает задачу.

Причём не для бинарных форм степени 7, а сразу в полной общности.

Теорема Гильберта о базисе (1888, анонс; полное изложение — Mathematische Annalen, 1890 и 1893).

Всякий идеал в кольце многочленов $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ конечно порождён.

Отсюда: система инвариантов конечно порождена для любых форм любой степени от любого числа переменных.

Идея доказательства

Стоит показать, потому что она проста и вся суть — в её характере.

Доказательство теоремы о базисе (индукция по числу переменных).

База. При $n=0$ кольцо есть поле $k$; идеалов всего два, и оба порождены одним элементом.

Шаг. Пусть теорема верна для $R=k[x_{1},\ldots,x_{n-1}]$; докажем для $R[x]$, где $x=x_n$.

Пусть $I\subseteq R[x]$ — идеал. Рассмотрим множество $J$ старших коэффициентов всех многочленов из $I$ (плюс нуль). Проверяется, что $J$ — идеал в $R$; по предположению индукции он порождён конечным набором $a_{1},\ldots,a_{m}$.

Выберем в $I$ многочлены $f_{1},\ldots,f_{m}$ со старшими коэффициентами $a_{1},\ldots,a_{m}$; пусть $d$ — максимум их степеней.

Теперь возьмём произвольный $f\in I$. Если $\deg f\geqslant d$, то его старший коэффициент лежит в $J$, значит выражается через $a_i$, и, вычтя подходящую комбинацию $x^{k}f_{i}$, мы понизим степень $f$. Повторяя, приходим к многочлену степени меньше $d$.

Остаётся разобраться с многочленами степени $<d$. Они образуют конечнопорождённый $R$-модуль (свободный ранга $d$), а над нётеровым кольцом подмодуль такого модуля конечно порождён. Добавляем эти образующие — и получаем конечный набор для всего $I$. $\blacksquare$

Обратите внимание, чего в доказательстве нет. Нет ни одного явно построенного инварианта. Доказательство говорит: «набор существует, потому что предположение о его отсутствии ведёт к бесконечной строго возрастающей цепочке, а такой быть не может». Оно не даёт ни способа найти образующие, ни оценки их числа, ни даже оценки их степеней.

Возглас Гордана

Реакция Гордана вошла в историю:

«Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.»
«Это не математика. Это теология.»

Его возражение было не капризом. С точки зрения математики XIX века доказать существование объекта означало предъявить его или дать способ построить. Гордан всю жизнь строил инварианты руками; Гильберт объявил, что они есть, не показав ни одного.

Мемуар Гильберта, поданный в «Mathematische Annalen», Гордан рецензировал и рекомендовал отклонить. Клейн, как редактор, напечатал его вопреки рецензии, написав Гильберту, что не сомневается в важности работы.

Гильберт ответил на критику по существу: в 1893 году он опубликовал вторую работу, где дал конструктивный вариант — способ, позволяющий в принципе вычислить образующие (через то, что теперь называется границами регулярности). Тогда же он получил и теорему о нулях (Nullstellensatz), связывающую идеалы с множествами решений.

Гордан признал метод. Ему приписывают позднейшую реплику:

«Я убедился, что и теология имеет свои преимущества.»

(Атрибуция, впрочем, не документирована надёжно; фраза известна в пересказе.)

Что здесь на самом деле произошло

Стоит проговорить, потому что это поворотный момент не только алгебры.

Смена типа доказательства. Доказательство существования без построения (неконструктивное) стало легитимным. Механизм тот же, что у КантораГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. в 1874 году (трансцендентные числа существуют, потому что их «больше»; ни одного не предъявлено — точка о Канторе) и у БореляЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши. с ЭрдёшемПал Эрдёшвенгерский математик · 1913–1996Полторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом. впоследствии (вероятностный метод).

Смена предмета. Гильберт, по существу, уничтожил классическую теорию инвариантов как самостоятельную дисциплину: главный вопрос закрыт, вычислять больше незачем. Сам он после этого теорией инвариантов не занимался. Ему приписывают шутку о том, что он показал: можно обойтись и без вычислений — надо только доказать существование.

Инвариантная теория возродилась только в 1960-х (геометрическая теория инвариантов Мамфорда) и уже на другом основании.

Смена метода. В доказательстве появляется решающая идея: условие обрыва возрастающих цепей идеалов. Гильберт использует её как приём; Эмми НётерЭмми Нётернемецкий математик · 1882–1935Изменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними. через тридцать лет сделает её аксиомой и построит на ней всю теорию (Эмми Нётер). Кольца с этим свойством называются нётеровыми, и теорема Гильберта о базисе в современной формулировке звучит так:

Если $R$ нётерово, то $R[x]$ нётерово.

Nullstellensatz

Раз уж речь о том же цикле работ (1893), стоит назвать и вторую теорему, оказавшуюся не менее важной.

Теорема о нулях. Пусть $k$ алгебраически замкнуто, $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ — идеал, $V(I)$ — множество общих нулей всех многочленов из $I$. Тогда многочлен $f$ обращается в нуль на всём $V(I)$ тогда и только тогда, когда $f^{m}\in I$ для некоторого $m$.

Иначе: $\ \mathrm{I}\left(V(I)\right)=\sqrt{I}$.

Слабая форма: система многочленов не имеет общих нулей тогда и только тогда, когда порождённый ими идеал есть всё кольцо (то есть $1=\sum g_i f_i$).

Значение: устанавливается словарь между алгеброй и геометрией.

$$\text{идеалы} \longleftrightarrow \text{алгебраические множества}$$

Это фундамент алгебраической геометрии; из него вырастет всё — от классической школы Италии до схем ГротендикаАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне..

Кёнигсберг: первая и последняя главы

Эта точка — начало кёнигсбергской истории Гильберта. У неё есть симметричный финал в том же городе через сорок два года.

8 сентября 1930 года Гильберт, уходя на пенсию и получая звание почётного гражданина Кёнигсберга, произносит речь на съезде Общества немецких естествоиспытателей и врачей. Он отвергает философский тезис ignorabimus («мы не будем знать») и заканчивает словами, ставшими эпитафией на его могиле:

«Wir müssen wissen. Wir werden wissen.»
«Мы должны знать. Мы будем знать.»

Речь была записана и передана по радио; запись сохранилась.

Днём раньше, 7 сентября 1930 года, на конференции по основаниям математики, проходившей в том же Кёнигсберге, двадцатичетырёхлетний Курт ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет. в ходе круглого стола впервые публично сообщил о своей теореме о неполноте: в любой достаточно богатой непротиворечивой формальной системе есть недоказуемые истинные утверждения.

Гильберт этого выступления, по-видимому, не слышал. Совпадение места и почти совпадение даты — одно из самых драматичных в истории науки: программа полного обоснования математики была публично провозглашена и публично опровергнута в одном городе с разницей в сутки.

Следующая точка: Гёттинген — стиль, которым написана вся математика XX века.