Карта → событие
Веддербёрн и Артин: структура алгебр
Задача
После кватернионов алгебры плодились. К 1900 году были известны десятки конечномерных ассоциативных алгебр: матричные, групповые, кватернионы, алгебры Клиффорда, всевозможные конструкции Пирса, Стади, Шефферса.
Стоял вопрос: можно ли их классифицировать?
Ответ в полной общности отрицательный: алгебр слишком много, и «дикие» примеры не поддаются. Но выяснилось, что для важнейшего класса ответ есть, и он предельно чёткий.
Определения
Алгебра над полем $k$ — векторное пространство с билинейным ассоциативным умножением.
Радикал $\mathrm{rad}\,A$ — наибольший нильпотентный двусторонний идеал. Это «мусор»: элементы, которые в некоторой степени обращаются в нуль.
Полупростая алгебра — та, у которой радикал нулевой.
Простая — без нетривиальных двусторонних идеалов.
Смысл разложения: всякая алгебра есть «полупростая часть плюс радикал», и полупростую часть можно классифицировать.
Теорема Веддербёрна
Джозеф Веддербёрн, «On hypercomplex numbers», Proceedings of the London Mathematical Society, 1907.
Теорема. Всякая конечномерная полупростая алгебра над полем $k$ изоморфна прямому произведению матричных алгебр над телами:
$$A\;\cong\;M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times\cdots\times M_{n_{r}}(D_{r}),$$
где $D_i$ — тела (некоммутативные поля) конечной размерности над $k$. Разложение единственно.
Это исчерпывающий ответ. Никаких экзотических полупростых алгебр не существует: всё сводится к матрицам.
Над $\mathbb{C}$ ситуация ещё проще: по теореме Фробениуса единственное конечномерное тело над алгебраически замкнутым полем — само поле. Значит,
$$A\cong M_{n_{1}}(\mathbb{C})\times\cdots\times M_{n_{r}}(\mathbb{C}).$$
Над $\mathbb{R}$ тел ровно три: $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ (ФробениусФердинанд ФробениусЗа несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой., 1878 — кватернионы). Значит, всякая вещественная полупростая алгебра собирается из матриц над этими тремя.
Мгновенное следствие: теория представлений
Вот где теорема окупается сразу.
Возьмём групповую алгебру $\mathbb{C}[G]$ конечной группы. Теорема Машке (1898): если характеристика поля не делит $|G|$, то $\mathbb{C}[G]$ полупроста. Применяем Веддербёрна:
$$\mathbb{C}[G]\cong M_{d_{1}}(\mathbb{C})\times\cdots\times M_{d_{r}}(\mathbb{C}).$$
Сравним размерности. Слева $|G|$, справа $\sum d_i^2$:
$$\sum_{i=1}^{r}d_{i}^{2}=|G|.$$
Это в точности соотношение Фробениуса, полученное там из ортогональности характеров ценой заметных усилий. Здесь оно выпадает как следствие структурной теоремы за одну строку.
Более того, $r$ — число сомножителей — равно числу неприводимых представлений, а также числу классов сопряжённости (центр произведения матричных алгебр $r$-мерен, а центр $\mathbb{C}[G]$ имеет базис из сумм по классам).
Вот образец того, что называют «структурным доказательством»: вместо вычислений с характерами — одна теорема о строении объекта, из которой всё следует.
Малая теорема Веддербёрна
Тот же автор, 1905, и результат настолько изящный, что его стоит привести отдельно:
Всякое конечное тело коммутативно (то есть является полем).
Иначе: конечных «кватернионов» не бывает. Некоммутативность требует бесконечности.
Доказательство (одно из; красивейшее принадлежит Витту, 1931) использует уравнение классов и круговые многочлены — оно занимает страницу и вполне доступно сильному студенту.
Следствие для геометрии: всякая конечная дезаргова плоскость паппова (теорема Паппа следует из ДезаргаЖерар ДезаргПостулировал, что параллельные прямые пересекаются, — и получил геометрию без исключений и без длин. Тираж в полсотни экземпляров разошёлся по друзьям, и дисциплина умерла на сто семьдесят четыре года. в конечном случае).
Артин, 1927
Эмиль Артин, «Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen», Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5 (1927).
Артин обобщает теорему с конечномерных алгебр на кольца с условием обрыва убывающих цепей идеалов (артиновы кольца) — в духе Нётер, у которой он перенял метод.
Конечномерность заменяется аксиомой; результат тот же. Современная формулировка — теорема Веддербёрна — Артина:
Кольцо полупросто (в смысле: артиново с нулевым радикалом) тогда и только тогда, когда оно есть конечное прямое произведение матричных колец над телами.
Двойственность понятий закрепилась: нётеровы кольца — с обрывом возрастающих цепей, артиновы — убывающих.
Люди
Джозеф Генри Маклаган Веддербёрн (1882–1948) — шотландец, учился в Эдинбурге, Лейпциге, Берлине и Чикаго; докторская степень Эдинбурга (1908) — за работу 1907 года. С 1909 года в Принстоне, где провёл остаток карьеры (с перерывом на Первую мировую, которую прошёл в британской армии в чине капитана, — он записался добровольцем одним из первых среди принстонских преподавателей). Тридцать лет редактировал «Annals of Mathematics», превратив их в ведущий журнал мира. Человек был крайне замкнутый; последние годы прожил почти отшельником.
Эмиль Артин (1898–1962) — фигура первой величины. Помимо этой теоремы: закон взаимности Артина (вершина теории полей классов), L-функции Артина, решение 17-й проблемы ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. (о представлении неотрицательных рациональных функций суммами квадратов), косы Артина (группа кос — один из центральных объектов современной топологии), теория Артина — Шрайера формально вещественных полей (см. точку о том, почему основная теорема алгебры не алгебраическая).
И, что важно для точки об Эмми Нётер, современное изложение теории ГалуаЭварист ГалуаЗа двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. — артиновское: через автоморфизмы и линейную независимость характеров, без резольвент.
Артин работал в Гамбурге с 1923 года; в 1937-м эмигрировал в США (жена была еврейкой), преподавал в Индиане и Принстоне; в 1958 году вернулся в Гамбург.
Соседние точки: Гамильтон → Фробениус → Веддербёрн и Артин → Нётер.