Карта → линии → сквозной сюжет

Как записать симметрию

группа сама по себе — таблица умножения; чтобы считать, её подменяют матрицами, потом операторами

Абстрактная группа — это таблица умножения и больше ничего. С ней нельзя посчитать, её нельзя приблизить, к ней не применишь ни анализ, ни геометрию. Вся теория представлений выросла из одного обходного манёвра: подменить группу её образом — набором матриц, которые перемножаются так же. Тогда симметрия становится числами, а к числам есть все инструменты сразу.

Нить о том, как трижды менялся ответ на вопрос, что считать числами.

Матрицы. Гамильтон в 1843 году впервые записывает симметрию так, что порядок сомножителей важен. Кэли доказывает, что всякая конечная группа реализуется подстановками, — абстрактное обязано иметь конкретный образ. А Фробениус за несколько месяцев переписки с Дедекиндом строит теорию характеров: у каждого представления есть числовой отпечаток, и по горстке этих чисел группа узнаётся целиком. Веддербёрн и Артин объясняют, почему всякое представление разбирается на неделимые куски.

Операторы. С непрерывными группами Ли и Киллинга матриц конечного размера перестаёт хватать. Нужны две вещи, и обе приходят из анализа: мера Хаара, чтобы усреднять по группе, у которой элементов континуум, и бесконечномерное пространство, чтобы операторам было где действовать. Второе приносит квантовая механика, которой без бесконечномерных представлений не существует вовсе. Понтрягин замечает попутно, что весь анализ Фурье — это теория представлений коммутативных групп, и нить о рядах Фурье пересекается здесь с этой.

Алгебры. Гельфанд обнаруживает, что характер — понятие не групповое, а алгебраическое: у коммутативной банаховой алгебры характеры и есть точки её спектра. Отсюда один шаг до теоремы Гельфанда и Наймарка: всякая коммутативная C*-алгебра — это функции на пространстве, а некоммутативная задаёт пространство, которого нет. Мост, который наводили с двух берегов — от кватернионов и от операторов, — сошёлся в Москве в 1943 году.

И дальше во все стороны. Шевалле прогоняет конструкцию задом наперёд и получает из непрерывных групп конечные простые. Ленглендс предлагает считать представления групп Галуа автоморфными формами — и из письма вырастает программа на век вперёд. Размерности представлений Монстра оказываются коэффициентами модулярной функции без всякой видимой причины. А Дринфельд показывает, что деформировать можно саму группу: представления переживают и это.

Полтора века назад речь шла о том, как записать симметрию треугольника. Сейчас — о том, что пространство можно задать алгеброй операторов, у которой никакого пространства за душой нет.

Открыть на карте

1

Дублин понедельник 16 октября 1843
Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камне
Завязка: умножение, у которого порядок сомножителей важен, — симметрия впервые записана числами

Гамильтон понимает, что для «умножения троек» нужна четвёртая компонента и жертва коммутативностью — и выцарапывает $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ на камне моста. Законы арифметики оказалось можно выбирать.
2

Лондон 1854 и 1858; кафедра в Кембридже — с 1863
Кэли: группа как таблица умножения
Всякая группа реализуется подстановками: абстрактное обязано иметь конкретный образ

Абстрактное определение группы — таблица умножения вместо подстановок — и вскоре исчисление матриц. Написано между судебными делами: Кэли в те годы работал адвокатом в Лондоне.
3

Христиания Христиания, 1873–1886; Лейпциг, 1886–1898
Софус Ли: непрерывные симметрии
Групп становится бесконечно много: непрерывные симметрии требуют другого языка

Ли переносит идею Галуа с алгебраических уравнений на дифференциальные: у каждого уравнения есть группа непрерывных симметрий, и по ней видно, интегрируется оно или нет. Без этой точки Киллинг необъясним.
4

Браунсберг (Бранево) 1888–1890
Киллинг: E₈ из провинциального лицея
Список того, что вообще может действовать: простые алгебры Ли классифицированы

Преподаватель католического лицея в Восточной Пруссии в почти полной изоляции классифицирует все простые комплексные алгебры Ли — включая никем не виданные исключительные $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$.
5

Берлин апрель — декабрь 1896
Характеры: теория представлений за несколько месяцев переписки
Сердце нити: характеры — числовой отпечаток группы, по которому её узнают

Дедекинд пишет Фробениусу о загадочном разложении «группового определителя» — и за несколько месяцев переписки рождается теория характеров и представлений конечных групп.
6

Гамбург Эдинбург, 1907; Гамбург, 1927
Веддербёрн и Артин: структура алгебр
Почему представление распадается на неприводимые: структура самих алгебр

Полупростое кольцо есть прямое произведение матричных алгебр — и больше ничего. Классификационный результат того же типа, что у Киллинга, но для ассоциативных алгебр.
7

Сегед система — Гёттинген, 1910; мера — 1933
Хаар: простейший базис — и мера для пятой проблемы
Мера, которой можно усреднять по непрерывной группе, — без неё теория для них не работает

Система из ступенек: первый ортонормированный базис, у которого коэффициент говорит не обо всей функции, а о месте. Это вейвлет за семьдесят лет до вейвлетов. Двадцать три года спустя тот же человек строит меру на группе, из которой фон Нейман получает пятую проблему Гильберта для компактных групп.
8

Гёттинген 1927–1932
Гильбертово пространство встречает квантовую механику
Физика требует бесконечномерных представлений — и получает их

Фон Нейман осознаёт: матричная механика Гейзенберга и волновая Шрёдингера — одна теория самосопряжённых операторов. Физика потребовала готовый раздел математики через 20 лет после его создания.
9

Москва 1934
Понтрягин: двойственность и гармонический анализ на группе
Анализ Фурье оказывается теорией представлений коммутативных групп

Двойственность для локально компактных коммутативных групп объясняет, почему ряд Фурье на окружности, интеграл Фурье на прямой и дискретное преобразование — одно и то же: гармонический анализ живёт на группе, а не на отрезке. Понтрягин ослеп в четырнадцать лет и всё считал в уме.
10

Москва 1939–1943
Гельфанд: банаховы алгебры и C*-алгебры
Характер снова в деле: у коммутативной алгебры он же и точка спектра

Теорема Винера доказывается в одну страницу, а теорема Гельфанда — Наймарка (1943) стыкует операторные алгебры с теорией представлений. Семинар Гельфанда проживёт полвека.
11

Москва 1943
Гельфанд и Наймарк: пространство из алгебры
Слияние: алгебра операторов и есть пространство — два берега сошлись

Коммутативная C*-алгебра — это в точности алгебра непрерывных функций на некотором пространстве. Топология полностью кодируется алгеброй; отсюда прямая дорога к «пространствам без точек».
12

Париж 1955
Шевалле: группы лиева типа
Обратный ход: из непрерывных групп механически получаются конечные простые

Шевалле показывает, как построить аналог всякой простой группы Ли над любым полем, в том числе конечным. Из пяти исключительных алгебр Киллинга получаются пять новых серий конечных простых групп — а из классификации в целом шестнадцать из восемнадцати семейств.
13

Принстон письмо Вейлю — январь 1967
Ленглендс: письмо Вейлю
Нить уходит в теорию чисел: представления групп Галуа против автоморфных форм

Семнадцать страниц от руки с предложением связать представления групп Галуа с автоморфными формами — и с оговоркой, что если это чепуха, то у адресата под рукой есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой объединяющей теорией математики.
14

Кембридж наблюдение Огга — 1975, гипотеза — 1979, доказательство — 1992
Moonshine: Монстр и лунный свет
Размерности представлений Монстра оказываются коэффициентами модулярной функции

Маккей замечает: $196\,884 = 196\,883 + 1$. Гипотеза «Monstrous Moonshine» связала крупнейшую конечную симметрию с теорией чисел и теорией струн; Борчердс доказал — Филдсовская медаль.
15

Харьков первая половина 1980-х; доклад — Беркли, 1986
Квантовые группы
Развязка: группу можно деформировать — представления переживут и это

Дринфельд доводит некоммутативность Гамильтона до предела: «группа», у которой нет точек, а есть только алгебра функций. Термин и программа — доклад в Беркли; Филдсовская медаль 1990.
16

Филадельфия 1984
Полином Джонса: узлы из операторных алгебр
И побочно: из алгебр операторов выпадает инвариант узлов

Специалист по алгебрам фон Неймана замечает, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и получает новый инвариант узлов, которого сто лет не могли найти топологи. Через четыре года Виттен объясняет его квантовой теорией поля. Обоим — Филдсовские медали.