Понтрягин: двойственность и гармонический анализ на группе

Вопрос, который обычно не задают

Студент, прошедший стандартный курс, знает три разных преобразования Фурье.

Ряд — для функции на окружности (то есть периодической): коэффициенты нумеруются целыми числами, спектр дискретен.

$$f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}e^{inx}.$$

Интеграл — для функции на прямой: спектр непрерывен, и на месте суммы стоит интеграл.

$$\hat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,dx.$$

Дискретное преобразование — для массива из $N$ чисел: конечная сумма, и на нём стоит вся цифровая обработка сигналов.

$$\hat f_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}f_{n}\,e^{-2\pi ikn/N}.$$

Три разные формулы, три разных курса, три разных набора теорем — и все три называются одним словом. Обычно это объясняют тем, что формулы «похожи». Понтрягин объяснил, почему они не похожи, а одинаковы.

Ответ: смотреть надо на группу

Общее у трёх случаев — не отрезок, не периодичность и не сумма. Общее в том, что область определения функции есть коммутативная группа: окружность (сложение углов), прямая (сложение чисел), кольцо вычетов $\mathbb{Z}/N$ (сложение по модулю). А экспоненты $e^{inx}$, $e^{i\xi x}$, $e^{2\pi ikn/N}$ — это характеры этих групп: непрерывные гомоморфизмы в окружность,

$$\chi:G\longrightarrow \mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C}: |z|=1\}, \qquad \chi(g+h)=\chi(g)\chi(h).$$

Характеры сами образуют группу относительно поточечного умножения — она называется двойственной и обозначается $\hat G$. Преобразование Фурье в любом из трёх случаев есть одно и то же:

$$\hat f(\chi)=\int_{G} f(g)\,\overline{\chi(g)}\,dg,$$

где интегрирование ведётся по мере ХаараАльфред Хаарвенгерский математик · 1885–1933Построил базис из ступенек, у которого коэффициент говорит не обо всей функции, а о месте, — вейвлет за семьдесят лет до вейвлетов. А через двадцать три года придумал меру на группе, из которой немедленно… — единственной (с точностью до множителя) мере на группе, инвариантной относительно сдвигов. Её существование Альфред Хаар доказал в 1933 году, ровно накануне; без неё вся конструкция не имела бы смысла.

Теорема

Л. С. Понтрягин, «The theory of topological commutative groups», Annals of Mathematics 35 (1934), 361–388.

Теорема двойственности. Для локально компактной коммутативной группы $G$ двойственная группа $\hat G$ также локально компактна и коммутативна, а естественное отображение
$$G\longrightarrow \hat{\hat G}, \qquad g\longmapsto \left(\chi\mapsto\chi(g)\right)$$
есть изоморфизм топологических групп.

Двойное двойственное возвращает исходную группу — как двойное дополнение в конечномерном векторном пространстве или двойная транспонировка матрицы. Отсюда и слово «двойственность»: пара $(G,\hat G)$ симметрична, ни одна из групп не главнее другой.

Таблица, ради которой всё делалось

$$ \begin{array}{lll} \textbf{Группа } G & \textbf{Двойственная } \hat G & \textbf{Преобразование} \\[2pt] \text{окружность } \mathbb{T} & \mathbb{Z} & \text{ряд Фурье} \\ \mathbb{Z} & \text{окружность } \mathbb{T} & \text{ряд Фурье, обратный} \\ \mathbb{R} & \mathbb{R} & \text{интеграл Фурье} \\ \mathbb{Z}/N & \mathbb{Z}/N & \text{дискретное преобразование} \\ \text{конечная } G & \hat G\cong G & \text{преобразование по характерам} \\ \mathbb{Q}_{p} & \mathbb{Q}_{p} & p\text{-адический анализ} \end{array} $$

Три знакомые формулы оказались тремя строками одной таблицы. И у таблицы есть закон, который читается сразу:

Двойственность меняет местами компактность и дискретность. $G$ компактна тогда и только тогда, когда $\hat G$ дискретна.

Вот почему у периодической функции спектр — набор целых номеров, а у функции на прямой — непрерывная переменная. Дело не в свойствах синусов, а в топологии группы: окружность компактна, значит, её двойственная дискретна. Ничего другого получиться не могло.

Прямая же самодвойственна — и это объясняет удивительную симметрию интеграла Фурье, где прямое и обратное преобразования отличаются только знаком.

Все стандартные теоремы после этого доказываются один раз, а не три: формула обращения, равенство Планшереля $\|f\|_{2}=\|\hat f\|_{2}$, переход свёртки в произведение. В курсах их доказывают трижды, потому что так исторически сложилось.

Как это читать со стороны нити ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.

Для сквозного сюжета линии анализа эта точка закрывает структурный пробел.

Нить идёт: Фурье спрашивает, всякая ли функция раскладывается в тригонометрический ряд (1807); ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа., РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики., КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя., ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами., РиссФридьеш Риссвенгерский математик · 1880–1956Построил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. и ФишерРональд Фишеранглийский статистик и генетик · 1890–1962Придумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции. уточняют, что значит «функция», «интеграл», «сходится»; ЛузинНиколай Николаевич Лузинрусский и советский математик · 1883–1950Создал московскую математическую школу — «Лузитанию», из которой вышло целое поколение, и стал жертвой первого в СССР публичного разгрома учёного. формулирует гипотезу, КарлесонЛеннарт Карлесоншведский математик · род. 1928Доказал гипотезу Лузина, которую пятьдесят лет считали ложной: ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом сходится к ней почти всюду. Вопросу, заданному в 1807 году, было сто пятьдесят девять лет. её доказывает (1966). Весь этот сюжет — про одну группу, окружность.

Понтрягин отвечает на вопрос, который в нити нигде не задан: а почему именно синусы? Ответ: потому что это характеры окружности, и никакого выбора тут нет — как только область определения оказывается коммутативной группой, базис разложения определён однозначно самой группой.

Отсюда практическое следствие, из-за которого гармонический анализ стал повсеместным. Если задача обладает симметрией, то есть группа действует на ней сдвигами, — раскладывать надо по характерам этой группы, и тогда операторы, коммутирующие со сдвигами, становятся умножением на функцию. На окружности это ряды Фурье, на $\mathbb{Z}/N$ — быстрое преобразование, на группе движений кристалла — зоны Бриллюэна в физике твёрдого тела, на группе вращений — сферические гармоники (правда, там группа уже некоммутативна, и теория сложнее).

Как это читать со стороны алгебры

А здесь та же теорема — первый образец приёма, который потом определит вторую половину линии.

Мы взяли объект $G$ и построили по нему другой объект $\hat G$, состоящий из отображений $G$ куда-то. Изучать $G$ и изучать $\hat G$ — одно и то же. Соответствие переворачивает стрелки: гомоморфизму $G\to H$ отвечает гомоморфизм $\hat H\to\hat G$.

Через девять лет ровно этот ход повторится в точке о Гельфанде и Наймарке: компакт $X$ и алгебра функций $C(X)$ — одно и то же, а точки восстанавливаются как гомоморфизмы алгебры в $\mathbb{C}$. Понтрягинова двойственность — частный случай: групповая алгебра $L^{1}(G)$ коммутативна, и её гельфандовский спектр есть в точности $\hat G$.

Дальше по линии этот же приём даёт схемы Гротендика, некоммутативную геометрию Кона и квантовые группы, где отказ от коммутативности уничтожает точки, но оставляет всю остальную структуру. Первый камень в этой кладке — 1934 год.

И ещё один хвост, длинный. Теория чисел. Двойственность работает и на группе аделей, а она самодвойственна с дискретной подгруппой $\mathbb{Q}$; формула суммирования ПуассонаСимеон Дени Пуассонфранцузский математик, механик и физик · 1781–1840Его именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа. в этой обстановке превращается в функциональное уравнение дзета-функции. Так устроена диссертация Тейта (1950), и так гармонический анализ вошёл в программу ЛенглендсаРоберт Ленглендсамерикано-канадский математик · род. 1936Написал от руки семнадцать страниц с предположением о связи теории чисел и анализа — и с оговоркой, что если это чепуха, у адресата есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой… — где, к слову, работал и ДринфельдВладимир Дринфельдсоветский и американский математик · род. 1954Придумал квантовые группы — деформацию алгебры, из которой инварианты узлов получаются пачками; шестнадцати лет выступал на международном конгрессе, в тридцать шесть получил Филдсовскую медаль..

Человек

Лев Семёнович Понтрягин (1908–1988) в тринадцать лет потерял зрение: дома взорвался примус. Математике он учился на слух — мать, Татьяна Андреевна, не знавшая математики, читала ему вслух статьи и книги, описывая незнакомые символы по внешнему виду; принятые в семье прозвища для значков он потом употреблял в разговоре всю жизнь. Записей он почти не делал и всё держал в голове.

К двадцати с небольшим он уже ведущий тополог: теорема двойственности Понтрягина в топологии (связывающая гомологии компакта и его дополнения) — 1931 год, топологические группы — начало 1930-х. Дальше — характеристические классы Понтрягина (1942), теория гомотопий и оснащённых многообразий.

В середине 1950-х он резко сменил область и занялся прикладными задачами: принцип максимума Понтрягина (1956, с Болтянским, Гамкрелидзе и Мищенко) — основа теории оптимального управления, по которой считают траектории ракет и режимы работы установок.

Сказать нужно и другое, иначе портрет выйдет неполным. В 1970–80-е годы, будучи фигурой влиятельной в Академии и в международных математических структурах, Понтрягин участвовал в решениях, о которых до сих пор спорят: с его позицией связывают, в частности, то, что кандидатура АрнольдаВладимир Игоревич Арнольдсоветский и российский математик · 1937–2010Девятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих… на Филдсовскую медаль 1974 года не была поддержана советской стороной. Его поздние публицистические выступления и мемуары вызывали и вызывают тяжёлые оценки. Приводить приговор здесь незачем — но и умалчивать не стоит: в этой линии уже есть точки, где человеческое и математическое расходятся далеко.

Следующая точка: Москва, 1943 — тот же приём, применённый к алгебрам операторов.