Альфред Хаар

Обе его главные вещи оказались нужны не тогда и не там, где были придуманы. Первую переоткрыли через семьдесят лет, вторую применили через несколько месяцев — но применял уже не он.

Ступеньки

Ряд Фурье раскладывает функцию по синусам, а синус размазан по всей прямой: изменив функцию в одной точке, вы поменяете все коэффициенты. Про то, где именно что-то произошло, разложение молчит.

Хаар в диссертации 1909 года, написанной в Гёттингене у Гильберта, построил другой базис. Первая функция — константа; вторая — ступенька, равная $+1$ на левой половине отрезка и $-1$ на правой; дальше — та же ступенька, сжатая вдвое и сдвинутая, и так далее.

Система ортонормирована и полна, а коэффициент при каждой ступеньке говорит о конкретном месте на конкретном масштабе. Разрыв функции портит несколько коэффициентов, а не все.

Это в точности идея вейвлета, и система Хаара — простейший из них. Оценили её в 1980-е, когда Ингрид Добеши построила семейство гладких вейвлетов с компактным носителем, и вся обработка изображений и сигналов перешла на этот язык. Формат JPEG 2000 и алгоритмы сжатия видео — прямые потомки ступенек 1909 года.

Мера

Второе — работа 1933 года, последняя.

Вопрос: как определить на группе «объём», согласованный с групповой операцией? На прямой это обычная длина, не меняющаяся при сдвиге. Мера Хаара — тот же объект для произвольной локально компактной топологической группы: мера, инвариантная относительно сдвигов группой на себя. Хаар доказал, что такая мера существует и единственна с точностью до множителя.

Значение выяснилось немедленно. Фон Нейман тем же годом воспользовался ею, чтобы решить пятую проблему Гильберта для компактных групп: всякая локально евклидова компактная группа есть группа Ли. Общий случай закрыли в 1952 году Глисон, Монтгомери и Циппин — и тоже опираясь на Хаара.

Без меры Хаара нет ни двойственности Понтрягина, ни гармонического анализа на группах, ни теории представлений в её нынешнем виде.

Сегед

Родился в 1885 году в Будапеште. Учился в Гёттингене у Гильберта, диссертацию защитил в 1909-м, преподавал там же, потом в Коложваре (Клуже).

После Трианонского договора венгерский университет Коложвара остался без города — Коложвар стал румынским Клужем. В 1921 году университет переехал в СегедГород в Венгрии, третий по величине после Будапешта и Дебрецена с населением около 110 тыс. чел. в начале XX века, и туда приехали Хаар и Фридьеш Рисс. На пустом месте они за несколько лет создали математический центр мирового уровня и в 1922-м основали журнал «Acta Scientiarum Mathematicarum», быстро ставший первоклассным. Редкий случай, когда вынужденный переезд породил школу.

Хаар умер в марте 1933 года, сорока семи лет, через несколько месяцев после работы о мере — и не узнал ни того, что из неё немедленно вышло, ни того, во что через полвека превратятся его ступеньки.