Фридьеш Рисс

Функциональный анализ складывался из двух половин: абстрактной (Фреше, Банах) и конкретной — про пространства функций. Вторую сделал Рисс.

Дьёр — Будапешт — Сегед

Сын врача из венгерского Дьёра, учился в Цюрихе, Будапеште и Гёттингене. Его младший брат Марцел Рисс тоже стал известным математиком и уехал в Швецию.

С 1911 года — в Коложваре (Клуже), после передачи Трансильвании Румынии университет переехал в Сегед, и Рисс с Альфредом Хааром основали там институт и знаменитый журнал Acta Scientiarum Mathematicarum. С 1946 года — в Будапеште.

Теорема Рисса — Фишера

1907 год. Вопрос стоял с мемуара Фурье 1807 года: какие последовательности бывают коэффициентами тригонометрического ряда? Рисс и независимо Эрнст Фишер (из Брно) ответили: ровно те, у которых сходится сумма квадратов.

Точнее, соответствие между функциями с интегрируемым квадратом и последовательностями с $\sum c_n^2 < \infty$ взаимно однозначно и сохраняет расстояние. Пространство $L^2$ полно.

Слова «полно» тогда ещё почти не было — и работала теорема только благодаря интегралу Лебега, появившемуся пятью годами раньше. Ответ выглядит так: правильное пространство функций — не непрерывные, а суммируемые с квадратом, и рассматривать их надо с точностью до множества меры нуль. Через двадцать лет на этом языке запишут квантовую механику.

Теорема о представлении

Второй его классический результат: всякий непрерывный линейный функционал на пространстве непрерывных функций представляется интегралом по некоторой мере,

$$\Phi(f) = \int f \, d\mu.$$

То есть «мера» и «способ усреднять» — одно и то же. Это теорема Рисса о представлении, из которой растёт и теория меры, и подход Гельфанда к алгебрам, и вероятностные конструкции.

Ему же принадлежат пространства $L^p$, теория компактных операторов (Рисса — Шаудера), лемма Рисса о почти перпендикуляре и способ изложения, который сделал предмет читаемым: учебник «Лекции по функциональному анализу», написанный с Бела Секефальви-Надем, переиздают до сих пор.

Рисс был известен как редкостно неторопливый лектор: читал по одной идее за занятие и требовал, чтобы её поняли до конца.