Карта → событие
Вена: теорема четырёх авторов
Задача: продолжить функционал
Пусть в пространстве $X$ выделено подпространство $Y$, и на $Y$ задан линейный функционал $f$ — правило, сопоставляющее каждому вектору число. Известна оценка: $f(y)\leqslant p(y)$ для всех $y\in Y$, где $p$ — какая-то заранее данная «мажоранта» (например, норма).
Вопрос: можно ли продолжить $f$ на всё $X$, не испортив оценку?
В конечной размерности вопрос пустой: достроим базис $Y$ до базиса $X$ и назначим значения как угодно; сохранить оценку удаётся простым индуктивным подбором. В бесконечной размерности базиса нет, индукция не кончается — и совершенно неясно, существует ли вообще хоть одно продолжение.
Вопрос не праздный. Без него вся теория рискует оказаться пустой: может статься, что на пространстве вообще нет ни одного ненулевого непрерывного функционала, и тогда говорить не о чем.
Что бывает, когда теоремы нет
Это не пугало ради красного словца. Возьмём пространство $L^{p}[0,1]$ при $0<p<1$ с расстоянием
$$d(f,g)=\int_{0}^{1}|f-g|^{p}\,dx.$$
Оно полное, метрическое, линейное — всё как надо. И на нём не существует ни одного ненулевого непрерывного линейного функционала. Сопряжённое пространство состоит из одного нуля.
Причина: единичный шар здесь невыпуклый. Теорема Хана — БанахаСтефан БанахДал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. отделяет мир, где анализ возможен, от мира, где его нет, и граница проходит по выпуклости.
Шаг Хелли: по одному измерению за раз
Идея, придуманная Эдуардом Хелли в 1912 году и не устаревшая до сих пор. Добавим к $Y$ одно новое направление $x_{0}$ и подберём значение $c=F(x_{0})$. Требования сводятся к двум неравенствам, которые должны выполняться сразу для всех $y,z\in Y$:
$$f(z)-p(z-x_{0})\;\leqslant\;c\;\leqslant\;p(y+x_{0})-f(y).$$
Такое $c$ найдётся тогда и только тогда, когда левая часть никогда не превосходит правой. А это проверяется в одну строку:
$$f(y)+f(z)=f(y+z)\leqslant p(y+z)\leqslant p(y+x_{0})+p(z-x_{0}).$$
Всё. Одно измерение добавлено, оценка цела. Дальше — повторять: в сепарабельном случае счётное число раз, в общем случае — трансфинитная индукция (сегодня говорят: лемма Цорна).
Формулировка
Теорема Хана — Банаха. Пусть $p$ — полунорма (или, шире, сублинейный функционал) на вещественном пространстве $X$, а $f$ — линейный функционал на подпространстве $Y$, удовлетворяющий $f(y)\leqslant p(y)$. Тогда существует линейный $F$ на всём $X$ с $F|_{Y}=f$ и $F(x)\leqslant p(x)$ для всех $x$.
Что из неё следует
Сопряжённое пространство богато. Для любого $x\ne0$ найдётся функционал $F$ с $\|F\|=1$ и $F(x)=\|x\|$. Функционалов хватает, чтобы различать точки, — и значит, на пространство можно смотреть «снаружи», через числа, которые оно порождает.
Геометрическая форма — отделимость. Выпуклое множество с внутренней точкой и не пересекающееся с ним выпуклое множество разделяются гиперплоскостью $F(x)=c$. В такой форме теорему сформулировал Мазур (1933), и именно она работает в выпуклом анализе, в теории оптимизации и в теореме Крейна — Мильмана.
Второе сопряжённое. Возникает естественное вложение $X\hookrightarrow X^{**}$, а с ним понятие рефлексивности — и весь дальнейший разговор о слабых топологиях.
Банаховы пределы. Существует функционал, продолжающий обычный предел на все ограниченные последовательности с сохранением линейности и сдвиговой инвариантности. Ближайший родственник этого сюжета — парадокс Банаха — Тарского: и там, и здесь работает необычайно мощный, но совершенно неконструктивный инструмент.
Цена: неконструктивность
Теорема Хана — Банаха не доказывается в чистой теории множеств без некоторой формы аксиомы выбора (хотя требует меньшего, чем полная аксиома выбора). Продолжение существует, но предъявить его нельзя. Функционал, о котором идёт речь, обычно невозможно выписать ни одной формулой.
Это типичная для функционального анализа сделка: мы получаем право утверждать существование объекта, отказываясь от возможности его увидеть. На такой сделке стоит половина дисциплины.
Четыре автора в трёх городах
| Год | Кто | Где | Что именно |
|---|---|---|---|
| 1912 | Эдуард Хелли | Вена | продолжение для пространства непрерывных функций; метод «по одному измерению» |
| 1923 | Марсель Рисс | Стокгольм | продолжение в связи с проблемой моментов |
| 1927 | Ханс Хан | Вена | общий случай для нормированных пространств |
| 1929 | Стефан Банах | Львов | независимо и общее: сублинейная мажоранта вместо нормы |
Работа Банаха вышла в первом томе только что основанного львовского журнала «Studia Mathematica». Марсель Рисс — младший брат Фридьеша РиссаФридьеш РиссПостроил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. из точки о теореме Рисса — Фишера; в математике XX века это одна из немногих пар братьев такого калибра.
Имя теорема носит по двум последним авторам. Хелли, придумавший метод, в название не попал.
Хелли
Эдуард Хелли (1884–1943) — фигура, на которой хорошо видно, чем был двадцатый век для европейской науки.
Работа 1912 года написана, когда он преподавал в гимназии. В 1914-м он уходит на войну, в 1915-м тяжело ранен и попадает в русский плен; до 1920 года — лагеря, в том числе в Сибири. В плену он продолжал заниматься математикой и, по свидетельствам, вёл семинар для пленных офицеров. Вернувшись в Вену, кафедры так и не получил: место приват-доцента давало право читать лекции, но не давало жалованья, и Хелли зарабатывал в банке и страховой конторе. После 1938 года ему пришлось бежать; последние годы он преподавал в Америке, где и умер в 1943 году.
Его имя, впрочем, живёт в другом месте: теорема Хелли о выпуклых множествах — если каждые $n+1$ из них в $\mathbb{R}^{n}$ имеют общую точку, то общую точку имеют все — стала отправной точкой целого раздела комбинаторной геометрии.
Следующая точка: Львов, 1920 — Банах превращает разрозненные приёмы в аксиоматику и даёт дисциплине имя.