Колмогоров: расходящийся ряд Фурье

Обстоятельства

Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) поступил в Московский университет в 1920 году, в семнадцать лет, и первое время колебался между математикой и историей: его студенческая работа о новгородском землевладении XV века была доложена на семинаре Бахрушина и, по преданию, получила замечание, что в истории одного доказательства мало, нужно несколько.

К математике его привёл семинар Николая Николаевича ЛузинаНиколай Николаевич Лузинрусский и советский математик · 1883–1950Создал московскую математическую школу — «Лузитанию», из которой вышло целое поколение, и стал жертвой первого в СССР публичного разгрома учёного. — «Лузитания», из которой вышли АлександровПавел Сергеевич Александровсоветский математик · 1896–1982Создал московскую топологическую школу и вместе с Урысоном — теорию компактных пространств; ввёл в обиход гомологические группы, услышав идею от Эмми Нётер., Урысон, Суслин, Меньшов, ХинчинАлександр Яковлевич Хинчинсоветский математик · 1894–1959Дал теории случайных процессов язык, на котором с тех пор говорят обработка сигналов и анализ временных рядов, — и написал книгу, в которой теоремы Шеннона впервые доказаны математически строго., Люстерник, НовиковПётр Сергеевич Новиковсоветский математик · 1901–1975Перенёс неразрешимость из оснований математики в обычную алгебру: доказал, что нет алгоритма, распознающего равенство двух слов в группе. Отец С. П. Новикова, с которым его постоянно путают., Гельфонд. Центральной темой школы была теория функций действительного переменного и, конкретно, вопросы о тригонометрических рядах — прямое продолжение линии Фурье → РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. → КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. → ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами..

В 1922 году девятнадцатилетний Колмогоров построил свой пример. Публикация — 1923 год, в польском журнале «Fundamenta Mathematicae» (том 4, с. 324–328), по-французски: «Une série de Fourier–Lebesgue divergente presque partout».

Это была его первая научная работа, и она мгновенно сделала имя автора известным в Европе.

Результат — и важное уточнение

Здесь легко перепутать две теоремы, и в исходном приложении к линии я сам их смешал. Правильно так:

Первый результат получен в девятнадцать лет, второй — в двадцать три, уже с существенно более тонкой техникой (полиномы Фейера).

Что это означало

Контекст: точка о Риссе и Фишере (1907) установила, что для $f\in L^{2}$ ряд Фурье сходится в среднем квадратичном — всегда, безусловно. Естественный следующий вопрос: а поточечно?

Лузин в 1915 году высказал гипотезу, что для $L^{2}$ сходимость почти всюду имеет место. Результат его ученика выглядел как удар по гипотезе учителя. Логика была такая: если в $L^{1}$ бывает расходимость почти всюду, то различие между $L^1$ и $L^2$ едва ли спасает; вероятно, контрпример найдётся и там.

Именно поэтому большинство специалистов сорок лет считали гипотезу Лузина ложной — пока КарлесонЛеннарт Карлесоншведский математик · род. 1928Доказал гипотезу Лузина, которую пятьдесят лет считали ложной: ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом сходится к ней почти всюду. Вопросу, заданному в 1807 году, было сто пятьдесят девять лет. не доказал её в 1966-м (предыдущая точка).

Так что эта точка — не тупик, а поворотный пункт: она задала границу, поиск которой занял ещё сорок три года. Итоговая картина:

$$L^{1}: \text{бывает расходимость всюду} \quad\bigg|\quad L^{p},\ p>1: \text{сходимость почти всюду}.$$

Граница проходит ровно между $L^{1}$ и $L^{p}$ при $p>1$, и уточнение её положения в шкале пространств Орлича — живая задача до сих пор.

Идея конструкции

Полное построение занимает несколько страниц, но идею можно передать.

Частичная сумма — свёртка с ядром ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа. (см. точку о Дирихле):

$$S_{N}f(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(t)D_{N}(x-t)\,dt, \qquad \int|D_{N}|\sim\frac{4}{\pi^{2}}\ln N.$$

Ключ в том, что $L^{1}$-норма ядра растёт логарифмически. Значит, оператор $S_N$ на $L^1$ не ограничен равномерно, и есть надежда «раскачать» частичные суммы.

Колмогоров строит функцию как сумму «всплесков»: берётся набор очень узких и очень высоких пиков (по существу приближения дельта-функций), расположенных так, что для каждой точки $x$ найдётся сколь угодно большое $N$, при котором $|S_Nf(x)|$ велика. Пики подбираются с быстро убывающими массами, чтобы сама $f$ осталась суммируемой, но с быстро растущими высотами, чтобы частичные суммы раскачивались. Расстановка ведётся индуктивно, каждый следующий блок «портит» почти все точки, не испорченные предыдущими.

Что было дальше

Колмогоров занимался тригонометрическими рядами до конца 1920-х (в том числе работа 1925 года о сопряжённых гармонических функциях, где доказано неравенство, носящее теперь его имя), а затем ушёл в теорию вероятностей.

Связь прямая и её стоит проговорить: теория меры, которую Лузинская школа изучала ради тригонометрических рядов, оказалась тем самым аппаратом, на котором построена аксиоматика 1933 года («Grundbegriffe» в линии вероятностей). Сам Колмогоров это подчёркивал.

То есть нить, идущая от Фурье (1807), проходит через Кантора, Лебега и московскую школу — и на этом человеке раздваивается: одна ветвь идёт к Карлесону (1966), другая уходит в линию вероятностей и оттуда — во всю современную статистику и теорию процессов.

Дальнейшее — отдельный список: колмогоровская сложность, КАМ-теория, турбулентность, теория информации, тринадцатая проблема ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., педагогика и школьные учебники.

Замечание для карты

Это узловая точка между двумя линиями. Если схема поддерживает межлинейные связи, её стоит связать с точкой о «Grundbegriffe» (Колмогоров, 1933) явно: один автор, один аппарат, две дисциплины, десять лет между ними.