Обобщённые решения Соболева

Задача, из которой всё выросло

Возьмём волновое уравнение $u_{tt} = c^{2}\Delta u$. Классическое решение обязано быть дважды дифференцируемым. Но физически осмысленные решения таковы далеко не всегда: ударная волна имеет разрыв, защипнутая струна — излом (это ровно спор 1747 года из точки о колеблющейся струне!), фронт волны от точечного источника сингулярен.

Физики считали такие решения не смущаясь. Математики знали, что формально они незаконны.

Сергей Львович Соболев (1908–1989), ученик В. И. Смирнова, в работах 1935–1936 годов («Le problème de Cauchy dans l'espace des fonctionnelles», «Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales») предлагает выход: изменить само понятие решения.

О географии: Соболев работал в Ленинграде, но Математический институт им. Стеклова, где он состоял, в 1934 году переехал в Москву, и работы этих лет относятся к московскому периоду.

Обобщённая производная

Отправная точка — формула интегрирования по частям. Если $u$ гладкая, а $\varphi$ гладкая и финитная (равна нулю вне некоторого отрезка), то внеинтегральные члены исчезают:

$$\int u'(x)\varphi(x)\,dx = -\int u(x)\varphi'(x)\,dx.$$

Слева фигурирует $u'$, справа — нет. Правая часть имеет смысл и тогда, когда $u$ не дифференцируема.

Определение. Функция $v$ называется обобщённой (слабой) производной функции $u$, если для всех финитных гладких $\varphi$

$$\int v\,\varphi\,dx = -\int u\,\varphi'\,dx.$$

Для мультииндекса $\alpha$:

$$\int v\,\varphi\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int u\,D^{\alpha}\varphi\,dx.$$

Функции $\varphi$ называются пробными: мы не спрашиваем, чему равна производная в точке, — мы спрашиваем, как она действует на пробные функции при усреднении.

Пример 1. $u(x)=|x|$. Классической производной в нуле нет. Обобщённая — $v(x) = \operatorname{sgn} x$. Проверка:

$$-\int_{-\infty}^{\infty}|x|\varphi'(x)dx = -\int_{-\infty}^{0}(-x)\varphi'dx - \int_{0}^{\infty}x\varphi'dx = -\int_{-\infty}^{0}\varphi\,dx + \int_{0}^{\infty}\varphi\,dx = \int \operatorname{sgn}(x)\varphi\,dx.\ \checkmark$$

Пример 2. $u = \operatorname{sgn} x$. Обобщённой производной как функции не существует: требуемый объект должен «сидеть» в одной точке и давать конечный интеграл. Это дельта-функция — и для неё придётся расширить теорию ещё раз (Шварц).

Обобщённая производная единственна с точностью до множества меры нуль (тут и понадобился Лебег) и совпадает с классической, когда та есть.

Пространства Соболева

$$W^{k,p}(\Omega) = \left\{u\in L^{p}(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^{p}(\Omega)\ \text{для всех } |\alpha|\leqslant k\right\},$$

$$\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\alpha|\leqslant k}\int_{\Omega}|D^{\alpha}u|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$$

Обозначение $H^{k} = W^{k,2}$ — это гильбертов случай, со скалярным произведением.

Эти пространства полны, то есть банаховы. В этом весь смысл: они устроены так, что предельные переходы из них не выводят.

Теорема вложения — главный результат

$$W^{k,p}(\mathbb{R}^{n}) \hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^{n}), \qquad \frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{k}{n} \quad (\text{при } kp<n),$$

и, что поразительнее,

$$W^{k,p}(\Omega)\hookrightarrow C^{m}(\overline\Omega), \qquad \text{если}\quad k - \frac{n}{p} > m.$$

Содержание второго вложения ошеломительно: достаточная гладкость «в интегральном смысле» влечёт классическую гладкость. Если функция имеет достаточно много слабых производных, суммируемых с достаточно высокой степенью, то она автоматически имеет обычные производные.

Простейший случай, доступный школьнику. $n=1$, $k=1$, $p=1$: условие $1 - 1/1 > -1$ выполнено, и $W^{1,1}(a,b) \subset C[a,b]$. Действительно, если $u' \in L^1$, то

$$u(x) = u(a) + \int_{a}^{x} u'(t)\,dt,$$

а интеграл с переменным верхним пределом непрерывен. То есть одномерная функция с интегрируемой слабой производной обязана быть непрерывной (точнее — абсолютно непрерывной).

Замечание о размерности. Условие $k > n/p$ показывает, что чем больше измерений, тем больше слабых производных нужно для непрерывности. В $\mathbb{R}^3$ при $p=2$ нужно $k>3/2$, то есть $H^2$ гарантирует непрерывность, а $H^1$ — уже нет. Именно поэтому трёхмерные задачи гидродинамики (проблема Навье — СтоксаДжордж Габриэль Стоксбританский математик и физик · 1819–1903Вывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года., одна из задач тысячелетия) настолько тяжелее двумерных: в двумерии вложения работают, в трёхмерии — не хватает.

Зачем это на самом деле: воскрешение принципа ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа.

Здесь линия делает изящную петлю назад, к точке о Вейерштрассе.

Принцип Дирихле (использовался РиманомБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.): чтобы решить задачу $\Delta u = 0$ в области с заданными граничными значениями, достаточно найти функцию, минимизирующую интеграл энергии

$$D[u] = \int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\,dx.$$

Минимум существует, рассуждал Риман, потому что интеграл неотрицателен и ограничен снизу.

ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. в 1870 году разгромил это рассуждение. Ограниченный снизу функционал не обязан достигать инфимума — Вейерштрасс привёл явный контрпример. Целый пласт результатов Римана повис в воздухе.

ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. частично восстановил принцип (1900, «Über das Dirichletsche Prinzip»), но полное решение даёт именно соболевский подход:

1. Возьмём минимизирующую последовательность $u_n$: $D[u_n]\to\inf D$.
2. Она не обязана сходиться в $C^{2}$ — вот где ошибался Риман.
3. Но она фундаментальна в $H^{1}$, а $H^{1}$ полно. Значит, предел $u$ существует — в $H^{1}$.
4. $u$ — обобщённое решение.
5. По теореме о регулярности (для эллиптических уравнений) обобщённое решение с гладкими данными оказывается гладким и, значит, классическим.

Схема «слабое решение → регулярность → классическое решение» стала стандартом всей теории уравнений в частных производных. Сначала находим решение в широком пространстве, где компактность и полнота работают; потом доказываем, что оно на самом деле хорошее.

Ирония: монстр Вейерштрасса сначала разрушил принцип Дирихле, а понимание того, как устроены «плохие» функции, его восстановило.

Человек

Соболев — фигура нерядовая даже по меркам этого списка. Окончил Ленинградский университет в 1929 году в 21 год; академик АН СССР в 1939 году, в 31 год — самый молодой академик в истории Академии.

С 1943 по 1957 год — заместитель И. В. Курчатова в Лаборатории № 2, то есть один из руководителей советского атомного проекта, отвечавший за вычислительные методы разделения изотопов.

В 1957 году стал одним из основателей Сибирского отделения АН СССР, создал и возглавил Институт математики в новосибирском Академгородке (ныне носящий его имя) и Новосибирский университет.

Приоритетная честность. Идея слабых производных носилась в воздухе: Беппо Леви (1906), Курант, Фридрихс, Морри, Никодим приходили к близким конструкциям. Соболев первым построил из этого систематическую теорию с теоремами вложения и применил её к уравнениям в частных производных.

Следующая точка: Нанси — последний шаг, после которого дельта-функция становится законным объектом.