Гёдель и Коэн: вопрос без ответа

Вопрос

Кантор доказал, что $|\mathbb{N}|<|\mathbb{R}|$, и обозначил $|\mathbb{N}|=\aleph_{0}$, $|\mathbb{R}|=2^{\aleph_{0}}$.

Континуум-гипотеза (CH): между ними ничего нет.

$$\text{Не существует множества } A \text{ с } \aleph_{0}<|A|<2^{\aleph_{0}}, \qquad\text{то есть}\qquad 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}.$$

КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. был убеждён в её истинности и потратил годы на доказательство, неоднократно объявляя об успехе и затем находя ошибку.

ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. поставил её первой в списке проблем 1900 года. В 1925 году он опубликовал собственную попытку доказательства; она оказалась несостоятельной.

Гёдель, 1940

Курт Гёдель (1906–1978), с 1940 года постоянный сотрудник Института перспективных исследований в Принстоне, доказал (результаты 1938–1940):

Если ZFC непротиворечива, то непротиворечива и ZFC + CH.

Метод: конструктивная вселенная $L$. Гёдель строит «минимальную» модель теории множеств, в которую входят только множества, определимые через уже построенные, с трансфинитной итерацией по ординалам. В этой вселенной CH истинна (как и обобщённая CH, и аксиома выбора).

Значит, опровергнуть CH невозможно: если бы существовало доказательство $\neg$CH из аксиом ZFC, оно работало бы и в $L$, где CH верна, — противоречие.

Коэн, 1963

Пол Коэн (1934–2007), молодой специалист по гармоническому анализу в Стэнфорде, взялся за задачу, не имея подготовки в теории множеств, и решил её за год.

Если ZFC непротиворечива, то непротиворечива и ZFC + $\neg$CH.

Метод: форсинг. Идея противоположна гёделевской: не сужать вселенную, а расширять её, добавляя новые множества.

Коэн строит процедуру, позволяющую присоединить к модели «общие» (generic) объекты — например, $\aleph_{2}$ новых вещественных чисел, — контролируя при этом, какие утверждения останутся истинными. Ключевое техническое понятие — отношение форсинга $p\Vdash\varphi$: условие $p$ (конечный кусок информации о новом объекте) «вынуждает» утверждение $\varphi$. Условия образуют частично упорядоченное множество, а общий фильтр по нему даёт расширение.

Результат: в новой модели вещественных чисел «больше», чем $\aleph_1$, и CH ложна.

Вместе: CH независима от ZFC. Ни доказать, ни опровергнуть.

Гёдель, ознакомившись с работой, признал её решением задачи и содействовал публикации; Коэн получил Филдсовскую медаль 1966 года — единственную за всю историю, присуждённую за работу по основаниям математики.

Что это значит

Три способа отнестись, и все три бытуют.

Формалистский. Аксиомы ZFC недостаточны, чтобы определить, что такое множество вещественных чисел. Есть разные непротиворечивые «вселенные», и в одних CH верна, в других нет. Как с пятым постулатом ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего.: есть геометрия с ним и геометрии без него, и обе законны.

Платонистский (позиция самого Гёделя). Множества существуют объективно, у CH есть определённый ответ, а ZFC его просто не улавливает. Значит, нужны новые аксиомы, интуитивно очевидные и разрешающие вопрос. Гёдель предполагал, что CH окажется ложной, и предлагал искать сильные аксиомы бесконечности.

Прагматический. Для 99% математики безразлично. Анализ, алгебра, геометрия, теория чисел работают одинаково при любом ответе.

Программа поиска новых аксиом жива: Хью Вудин и другие исследуют аксиомы больших кардиналов, аксиому детерминированности, «максимум Мартина», гипотезу $(*)$. Единого мнения нет.

Связь с анализом

Может показаться, что это чистая логика и линии анализа не касается. Касается, и напрямую.

Во-первых, происхождение. Точка о Канторе показывает, что теория множеств выросла из вопроса о единственности тригонометрических разложений. CH — прямой потомок того же дерева.

Во-вторых, конкретные следствия в анализе. Ряд аналитических утверждений оказался равносилен CH или зависящим от неё:

• Гипотеза ЛузинаНиколай Николаевич Лузинрусский и советский математик · 1883–1950Создал московскую математическую школу — «Лузитанию», из которой вышло целое поколение, и стал жертвой первого в СССР публичного разгрома учёного. о проективных множествах и вопросы дескриптивной теории множеств.
• Существование определённых типов банаховых пространств и «странных» линейных функционалов.
• Проблема Уайтхеда в теории абелевых групп (Шела, 1974) — независима от ZFC.
• Проблема Каплански о непрерывности гомоморфизмов банаховых алгебр (Дейлс, Эстерле, Соловей, 1976) — независима от ZFC.

Последний пример особенно показателен: вопрос, сформулированный целиком внутри функционального анализа (Банах), не имеет ответа в стандартной теории множеств.

В-третьих, аксиома выбора. Она же стоит за неизмеримыми множествами (точка о Витали) и за парадоксом БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — ТарскогоАльфред Тарскийпольско-американский логик и математик · 1901–1983Дал первое строгое определение слова «истинно» — и тут же доказал, что внутри самого языка такое определение невозможно; уехал из Польши за три недели до войны, читая доклад в Гарварде.. Основания математики влияют на то, какие теоремы верны в анализе.

Люди

Гёдель — автор теорем о неполноте (1931), возможно, самого важного логического результата XX века. Близкий друг ЭйнштейнаАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. в Принстоне; они гуляли вместе ежедневно. К концу жизни страдал параноидальными расстройствами, боялся отравления и умер от истощения, отказываясь есть.

Коэн до 1963 года занимался гармоническим анализом (то есть той самой линией ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.) и в теорию множеств пришёл со стороны. Его собственное объяснение успеха: он не знал, что задача считается безнадёжной, и подошёл к ней как аналитик.