Альфред Тарский

Вопрос «что значит, что предложение истинно?» две тысячи лет считался философским. Тарский показал, что для формального языка на него отвечают математически, — и что ответ содержит неприятный сюрприз.

Варшава

Родился в 1901 году в Варшаве под фамилией Тайтельбаум; сменил её в 1924-м — в тогдашней Польше еврейская фамилия закрывала университетскую карьеру, и это не помогло: кафедры он так и не получил, преподавал в гимназии и подрабатывал в университете.

Учился он в лучшем месте, какое тогда было. Варшавско-львовская школа выросла из семинара Казимежа Твардовского, и логикой там занимались десятками: Ян Лукасевич с трёхзначной логикой и бесскобочной «польской» записью, Станислав Лесневский с тремя собственными формальными системами, Мойжеш Пресбургер, доказавший на семинаре 1929 года полноту и разрешимость арифметики без умножения. Докторскую Тарский защитил в двадцать три года у Лесневского.

Первая известность пришла рано и с неожиданной стороны: в 1924 году они с Банахом показали, что шар можно разрезать на конечное число кусков и собрать из них два таких же. Это не фокус, а счёт за аксиому выбора: куски неизмеримы, и никакого «объёма» у них попросту нет.

Что значит «истинно»

Работа 1933 года начинается с требования, которое выглядит до смешного простым:

Предложение «снег бел» истинно тогда и только тогда, когда снег бел.

Слева — утверждение о предложении, справа — утверждение о мире. Всякое разумное определение истины обязано их связывать. Дальше Тарский строит само определение — индукцией по построению формулы, через вспомогательное понятие «набор значений переменных удовлетворяет формуле».

А потом доказывает теорему о невыразимости истины: в достаточно богатом языке множество номеров истинных предложений невыразимо средствами самого этого языка. Определить истину для языка можно только поднявшись над ним, в метаязык.

Это родная сестра гёделевской неполноты, и вместе они объясняют, почему у неполноты нет обходного пути: доказуемость выразить в языке можно, истину — нельзя, и оттого они и расходятся. Заодно становится ясно, отчего лжец неустраним: язык, говорящий о собственной истинности, противоречив по устройству.

Август 1939-го

В августе 1939 года Тарский поплыл в США на конгресс — последним пассажирским рейсом, ушедшим из Польши перед войной. Через три недели началось вторжение. Жена и двое детей остались; их прятали до конца войны и они уцелели, родители и брат погибли в Холокосте.

Первые годы в Америке он перебивался временными местами, с 1942 года — Беркли, где и провёл остаток жизни.

Беркли

В Беркли Тарский построил то, чего у него не было в Варшаве: школу. Из неё вышла теория моделей — раздел, изучающий отношение между формальными языками и математическими структурами, о котором Мальцев в Иванове независимо думал в те же годы.

Оттуда же его собственные результаты: разрешимость элементарной геометрии и алгебры вещественных чисел (для них, в отличие от арифметики, алгоритм проверки истинности существует), метод элиминации кванторов, работы о бесконечных кардиналах и об аксиоме выбора. Учеников у него было больше двух десятков, и среди них — Джулия Робинсон, сделавшая главный шаг к решению десятой проблемы Гильберта.

Умер в Беркли в 1983 году. Слово «истинно», которым математика пользуется не задумываясь, до сих пор определяется по Тарскому.