Топологическое пространство

Чего не хватало

К 1914 году топологи умели многое, но не могли ответить на вопрос, о чём вообще идёт речь. Что такое «пространство»? Что такое «непрерывное отображение» — если ни расстояний, ни координат нет?

Подступы были. Кантор в 1870-е ввёл предельные точки и замкнутые множества на прямой. Фреше в 1906 году определил метрическое пространство — множество с функцией расстояния, удовлетворяющей трём аксиомам. Это уже большой шаг: непрерывность формулируется на языке $\varepsilon$–$\delta$ без всякой геометрии.

Но расстояние — лишнее. Оно даёт больше, чем нужно: два разных расстояния могут задавать одну и ту же непрерывность (на прямой $|x-y|$ и $\min(|x-y|,1)$ — разные метрики, одинаковые сходящиеся последовательности). Значит, в определении непрерывности участвует не сама метрика, а что-то более грубое.

Феликс Хаусдорф (1868–1942) в книге «Grundzüge der Mengenlehre» («Основы теории множеств», Лейпциг, 1914) выделил это «более грубое» и сделал его определением.

Определение

Хаусдорф задаёт пространство через систему окрестностей: каждой точке $x$ сопоставлено семейство множеств $U(x)$, содержащих $x$, с четырьмя аксиомами (среди них — та, что любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности).

Современная формулировка, эквивалентная и более удобная, принадлежит Куратовскому (1922) и работает через открытые множества.

Топологическое пространство — это множество $X$ вместе с набором $\tau$ его подмножеств (называемых открытыми), таким что:

1. $\varnothing\in\tau$ и $X\in\tau$;
2. объединение любого числа открытых множеств открыто;
3. пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Всё. Три строки, никаких чисел.

Непрерывность определяется столь же лаконично:

Отображение $f:X\to Y$ непрерывно, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Проверим, что это то самое. Для функции на прямой: прообраз интервала открыт — значит, для всякой точки $x_0$ и всякого $\varepsilon$ найдётся окрестность $x_0$, целиком переходящая в $\varepsilon$-окрестность $f(x_0)$, то есть найдётся $\delta$. Знакомое $\varepsilon$–$\delta$ ровно в этом и состоит, только сформулировано без чисел.

Обратите внимание на асимметрию в аксиомах: объединения — любые, пересечения — только конечные. Она не произвол: пересечение бесконечного числа интервалов $\left(-\frac1n,\frac1n\right)$ есть точка $\{0\}$, а точка на прямой не открыта. Без этого ограничения открытыми пришлось бы объявить все множества, и понятие обессмыслилось бы.

Зачем такая общность

Первый вопрос всякого студента: не слишком ли много выброшено?

Ответ — в примерах, которые без метрики не описать.

• Топология Зарисского в алгебраической геометрии: замкнуты множества нулей многочленов. Никакого расстояния тут нет и быть не может, а понятие непрерывности нужно ежедневно (схемы Гротендика).
• Слабые топологии в функциональном анализе: на бесконечномерном пространстве полезны сходимости, не задаваемые никакой нормой (Банах).
• Топология на множестве функций, на пространстве подмножеств, на пространстве самих пространств — везде, где расстояние искусственно.

И обратный аргумент: чем меньше аксиом, тем шире область применения теоремы. Всё, что доказано только из трёх аксиом, верно сразу для всего перечисленного.

Аксиомы отделимости

Полная общность, однако, допускает и патологии. Пример: прямая с двумя нулями — возьмём $\mathbb{R}$ и добавим вторую точку $0'$, объявив её окрестностями те же множества, что у нуля, но с заменой $0$ на $0'$. Получится пространство, где последовательность $1/n$ сходится к двум разным точкам сразу.

Чтобы такого не было, накладывают дополнительные условия — аксиомы отделимости:

	Условие	Что даёт
$T_0$	у любых двух точек есть окрестность, содержащая одну и не содержащую другую	точки различимы
$T_1$	все одноточечные множества замкнуты
$T_2$ (хаусдорфово)	любые две точки имеют непересекающиеся окрестности	единственность предела
$T_3$, $T_4$	точку/замкнутое и замкнутое можно разделить	метризуемость при доп. условиях

Условие $T_2$ носит имя Хаусдорфа — он включил его прямо в исходное определение, и лишь позже стало принято рассматривать более общий случай. Практически всё, с чем работают в анализе и геометрии, хаусдорфово.

Хаусдорфова размерность

В той же книге и в работе 1918 года Хаусдорф вводит понятие, которому предстояло долгое эхо. Обычная размерность целая; он определил меру и размерность, допускающие дробные значения.

Идея: покроем множество шариками диаметра не больше $\delta$ и посмотрим, как ведёт себя сумма $\sum(\mathrm{diam}\,U_i)^{s}$ при $\delta\to0$. Существует критическое $s$, при котором сумма переходит от бесконечности к нулю; оно и называется хаусдорфовой размерностью.

Для отрезка получается 1, для квадрата 2. А для канторова множества

$$\dim_H=\frac{\ln2}{\ln3}\approx0{,}6309 .$$

Полвека это считалось экзотикой. В 1975 году Мандельброт сделал дробную размерность центральным понятием теории фракталов, и величина Хаусдорфа стала рабочим инструментом от физики турбулентности до обработки изображений.

Человек

Хаусдорф прожил две жизни. Одну — математическую: теория множеств, топология, теория меры, а также «парадокс Хаусдорфа» (1914) о разбиении сферы, из которого через десять лет вырастет парадокс Банаха — Тарского.

Вторую — литературную, под псевдонимом Поль Монгре: книги афоризмов и эссе в духе Ницше, стихи, философская работа «Хаос в космическом отборе» (1898) и пьеса «Врач своей чести» (1904), которая с успехом шла в немецких театрах. Многие его знакомые не подозревали, что писатель Монгре и профессор Хаусдорф — один человек.

Конец известен. Как еврея его в 1935 году отправили в отставку, лишили права печататься, затем и права пользоваться библиотекой. 26 января 1942 года, получив предписание об отправке в лагерь Эндених, Феликс Хаусдорф покончил с собой вместе с женой Шарлоттой и её сестрой Эдит Паппенхайм. В прощальном письме другу он писал: «Простите нас. Мы желаем вам и всем нашим друзьям дожить до лучших времён».

Это одна из самых тяжёлых страниц нашей хроники, и на карте она стоит рядом с Гёттингеном 1933 года, откуда изгнали НётерЭмми Нётернемецкий математик · 1882–1935Изменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними., и с офлагом XVII-A.

Задача. Проверьте, что на любом множестве $X$ набор $\tau=\{\varnothing,X\}$ (антидискретная топология) и набор всех подмножеств (дискретная топология) удовлетворяют трём аксиомам. Какие отображения из дискретного пространства непрерывны? А в антидискретное?
(Ответ: из дискретного — все; в антидискретное — тоже все. Это два крайних случая: в первом открытых множеств максимум, во втором минимум, и в обоих условие на прообразы выполняется тривиально.)

Следующая точка: Москва — где к новорождённому понятию пространства добавят второе, без которого топология не работает.