Леннарт Карлесон

Есть задачи, которые решают, и есть такие, про которые сообщество успевает договориться, что ответ отрицательный, — и ищет контрпример. Карлесон взял вторую и получил положительный ответ.

Вопрос 1807 года

Фурье заявил, что всякую функцию можно разложить в тригонометрический ряд. Что значит «можно» и в каком смысле ряд сходится, выясняли полтора века: Дирихле дал первое строгое условие, Кантор из этих вопросов вывел теорию множеств, Лебег — теорию меры.

К 1920-м вопрос сузился до одного: если $\int f^2 < \infty$, сходится ли ряд Фурье к $f$ почти в каждой точке? Лузин предположил, что да. Колмогоров в 1923 году, девятнадцати лет, построил суммируемую функцию, ряд Фурье которой расходится всюду, — и после этого большинство склонилось к тому, что гипотеза Лузина ложна и надо просто найти пример похитрее.

Карлесон, по собственному рассказу, несколько лет и искал контрпример. Не найдя, понял, почему его нет.

1966

Доказательство — сорок страниц исключительной технической плотности; его называли одним из самых трудных текстов своего времени, и лет двадцать мало кто мог пересказать ход рассуждения целиком. Суть в том, чтобы оценить максимальный оператор частичных сумм, разбивая частотную ось на куски, зависящие от самой функции.

Через год Ричард Хант распространил результат на $L^p$ при $p>1$ — отсюда теорема Карлесона — Ханта. А в 2000 году Лейси и Тиле дали куда более прозрачное доказательство на языке фазового пространства: плоскость «время — частота» режется на прямоугольники площади единица (меньше нельзя по принципу неопределённости), и оценка ведётся суммированием по деревьям.

Что ещё

Ему принадлежат теорема о короне (1962) — утверждение об алгебре ограниченных аналитических функций в круге, стоявшее двадцать лет, — меры Карлесона, ставшие стандартным инструментом гармонического анализа, и работы по динамическим системам: вместе с Михаилом Бенедиксом он строго доказал существование странного аттрактора у отображения Эно.

Двадцать лет (1968–1984) Карлесон возглавлял Институт Миттаг-Леффлера под Стокгольмом и превратил его из полузаброшенной виллы с библиотекой в один из мировых центров. В 1978–1982 годах был президентом Международного математического союза.

Премия Вольфа 1992 года, Абелевская премия 2006-го. Занимался бегом и ориентированием на серьёзном уровне; коллеги вспоминают, что доклады он предпочитал обсуждать на ходу, в лесу.