Дирихле: первое строгое условие и новое определение функции

Человек

Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) родился в Дюрене, учился в Париже (где слушал ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться., ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего., ПуассонаСимеон Дени Пуассонфранцузский математик, механик и физик · 1781–1840Его именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа. и ЛежандраАдриен Мари Лежандрфранцузский математик · 1752–1833Первым напечатал метод наименьших квадратов, первым сформулировал закон распределения простых чисел — и в обоих случаях приоритет у него оспорил Гаусс. и работал домашним учителем в семье генерала Фуа), с 1828 года — в Берлине, с 1855-го — преемник ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. в Гёттингене.

Двадцатилетним он прославился доказательством Великой теоремы ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. для $n=5$ (совместно с Лежандром). Ему же принадлежат теорема о простых числах в арифметической прогрессии (1837, где впервые применены $L$-ряды — рождение аналитической теории чисел), принцип Дирихле в двух разных смыслах (о ящиках и о минимуме энергии), единицы в числовых полях.

Для нашей линии он — человек, соединивший французскую традицию вычисления с немецкой традицией строгости. Он привёз в Берлин Фурье и КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и потребовал от них доказательств.

Работа 1829 года

«Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données», Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Крелле), том 4.

Дирихле начинает с разбора «доказательства» Коши (1826) и показывает, что оно неверно: Коши опирался на то, что из сходимости $\sum a_n$ следует сходимость $\sum b_n$ при $b_n/a_n\to1$, а это ложно для знакопеременных рядов. (Контрпример: $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$, $b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$.)

Затем даёт своё доказательство.

Теорема Дирихле. Пусть $f$ на $[-\pi,\pi]$:

1. ограничена;
2. имеет конечное число разрывов;
3. имеет конечное число максимумов и минимумов (кусочно-монотонна).

Тогда ряд Фурье функции $f$ сходится в каждой точке, причём

$$\sum_{n} \left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) + \frac{a_{0}}{2} = \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}.$$

Это первая верная теорема о сходимости рядов Фурье в истории — через двадцать два года после заявления Фурье.

Обратите внимание на изящество формулировки правой части: в точках непрерывности она даёт $f(x)$, в точках разрыва — среднее односторонних пределов. Ряд «не знает», какое значение приписать в точке скачка, и выбирает середину. Для прямоугольной волны из точки о Фурье в нуле ряд даёт 0, что есть среднее между $-1$ и $+1$. $\checkmark$

Ядро Дирихле. Технический инструмент, ставший стандартным. Частичная сумма записывается как свёртка:

$$S_{N}(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,D_{N}(x-t)\,dt, \qquad D_{N}(u) = \sum_{n=-N}^{N}e^{inu} = \frac{\sin\left(\left(N+\frac12\right)u\right)}{\sin\frac u2}.$$

Всё дело в поведении $D_N$: он имеет высокий узкий пик в нуле (значение $2N+1$) и осциллирующие хвосты. Интеграл от $D_N$ равен $2\pi$, а интеграл от $|D_N|$ растёт как $\ln N$ — это константы ЛебегаАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.. Отсюда, кстати, и явление Гиббса, и (через теорему Банаха — Штейнгауза) существование непрерывной функции с расходящимся рядом.

Работа 1837 года: определение функции

«Über die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus- und Cosinusreihen» — «О представлении совершенно произвольных функций рядами синусов и косинусов».

Здесь Дирихле формулирует то, что стало современным определением:

Если каждому $x$ из некоторого промежутка отвечает единственное определённое $y$, то $y$ называется функцией $x$. При этом совершенно безразлично, задано ли это соответствие одной формулой, несколькими формулами на разных участках или вообще каким угодно способом.

Сравните с ЭйлеромЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. 1748 года («аналитическое выражение»). Формула перестала быть обязательной. Функция — это соответствие, и только.

Определение выглядит невинно, но оно взрывное: оно легализует объекты, о которых прежде нельзя было и говорить. И Дирихле немедленно демонстрирует это на примере.

Функция Дирихле

$$D(x) = \begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q},\\ 0, & x\notin\mathbb{Q}.\end{cases}$$

Свойства:

• разрывна в каждой точке;
• не интегрируема по Риману: на любом отрезке колебание равно 1, суммы Дарбу дают 1 и 0 при любом разбиении;
• интегрируема по Лебегу, и $\int_0^1 D = 0$, поскольку $\lambda(\mathbb{Q})=0$;
• периодична с любым рациональным периодом, но не имеет наименьшего периода;
• представима одной формулой (Прингсхейм, 1898): $D(x) = \lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\,\pi x)$ — что забавно опровергает саму идею, будто «задаваемое формулой» есть содержательное ограничение.

Смысл примера. Дирихле доказал теорему при трёх условиях и тут же предъявил функцию, которая не удовлетворяет ни одному и к которой его теория неприменима. Это акт научной честности и одновременно постановка задачи следующему поколению: что делать с такими объектами?

Ответ занял семьдесят лет:

• Риман (1854): расширяет понятие интеграла — но функция Дирихле остаётся за бортом.
• Кантор (1872): начинает изучать множества точек разрыва.
• Лебег (1902): строит меру, и функция Дирихле наконец интегрируется.

Функция Дирихле — вероятно, самый продуктивный контрпример в истории математики.

Почему это точка первой очереди

Она закрывает главный пробел сквозной нити. Сейчас на линии от Фурье (1807) сразу переход к БольцаноБернард Больцаночешский математик, философ и католический священник · 1781–1848Дал строгое определение предела и непрерывности за четыре года до Коши, построил функцию без производной за полвека до Вейерштрасса — и почти всё это пролежало в столе сто лет. и Коши, а затем к РимануБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. (1854). Читателю неясно:

• кто вообще доказал что-нибудь о рядах Фурье;
• откуда взялось современное определение функции;
• почему Риман в 1854 году занялся именно интегралом.

На все три вопроса отвечает Дирихле, и ответы связаны в одну цепочку: чтобы говорить о сходимости, надо знать, что такое функция; чтобы вычислять коэффициенты $\int f\sin nx\,dx$ для странных функций, надо знать, что такое интеграл. Риман был учеником Дирихле и прямо продолжал его программу — эту преемственность стоит показать.

Кроме того, Дирихле — фигура, связывающая линию анализа с линией теории чисел ($L$-ряды, 1837) и с точкой о Соболеве (принцип Дирихле о минимуме энергии, разгромленный ВейерштрассомКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. и восстановленный СоболевымСергей Львович Соболевсоветский математик · 1908–1989Ввёл обобщённые решения дифференциальных уравнений за девять лет до теории распределений Шварца — и пространства, без которых сегодня не пишется ни одна работа по уравнениям в частных производных.).

Мелочь для колорита

Дирихле был известен нелюбовью к письмам. Сообщение о рождении первого ребёнка он отправил тестю телеграммой из двух слов: «$2+1=3$».