Абель: строгость приходит в теорию рядов

Человек

Нильс Хенрик Абель (1802–1829) — сын бедного норвежского пастора, старший из шести детей после смерти отца. Учитель гимназии Бернт Хольмбоэ распознал в нём дарование и добился стипендии.

В 1824 году Абель за свой счёт напечатал шестистраничную брошюру с доказательством неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах — задачи, стоявшей триста лет. Экономил на бумаге так, что изложение вышло почти непонятным; экземпляр, отправленный ГауссуКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию., тот, по преданию, не разрезал.

В 1825–1827 годах — поездка по Европе на казённую стипендию: Берлин (где он подружился с Крелле и стал главным автором его нового журнала), затем Париж. В Париже его не заметили: поданный в Академию мемуар («Парижский мемуар» о трансцендентных функциях — работа, содержащая теорему Абеля о сложении и начала теории абелевых интегралов) попал к КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., который его потерял. Найден он был только в 1841 году, через двенадцать лет после смерти автора.

Абель вернулся домой без места, зарабатывал уроками, заболел туберкулёзом и умер 6 апреля 1829 года в двадцать шесть лет. Письмо Крелле с известием, что для него получена кафедра в Берлине, пришло через два дня после похорон.

Работа

«Untersuchungen über die Reihe $1+\frac{m}{1}x+\frac{m(m-1)}{1\cdot2}x^{2}+\cdots$», журнал Крелле, том 1 (1826).

Предмет — биномиальный ряд Ньютона:

$$(1+x)^{m} = \sum_{k=0}^{\infty}C_{m}^{k}x^{k}, \qquad C_{m}^{k}=\frac{m(m-1)\cdots(m-k+1)}{k!}.$$

Ряд использовали сто шестьдесят лет. Вопрос, при каких $x$ и $m$ он сходится и к чему именно, не был исследован ни разу.

Абель исследует его полностью, включая комплексные $m$ и граничные точки $x=\pm1$. Это первое в истории полное исследование сходимости конкретного ряда, и по строгости оно превосходит всё написанное до него, включая Коши.

Программное заявление

Во введении Абель формулирует позицию, ставшую манифестом:

В высшем анализе очень мало предложений доказано с окончательной строгостью. Всюду встречается злополучный приём: заключать от частного к общему, — и удивительно, что при этом столь редко приходят к противоречиям.

И в письме Хольмбоэ (январь 1826-го) — знаменитое:

Расходящиеся ряды суть изобретение дьявола, и стыдно основывать на них какое бы то ни было доказательство.

Заметим для справедливости: Эйлер работал с расходящимися рядами и почти всегда получал верные ответы, а в XX веке теория суммирования его отчасти оправдала. Позиция Абеля — не абсолютная истина, а необходимая на тот момент дисциплинарная мера. Порядок наводится жёстче, чем требуется, потому что иначе не навести вовсе.

Указание на ошибку Коши

В подстрочном примечании к той же работе Абель разбирает теорему I главы VI «Cours d'analyse», утверждающую, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна.

Формулировка Абеля предельно вежлива: ему кажется, что эта теорема допускает исключения. И приводит пример:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin nx = \frac{x}{2} \quad\text{при } -\pi<x<\pi.$$

Ряд сходится при всех $x$ (признак ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа.), все члены непрерывны и $2\pi$-периодичны. Но правая часть — функция $x/2$ на $(-\pi,\pi)$, продолженная периодически, — имеет разрыв в точках $x=\pm\pi$, где скачет между $\pi/2$ и $-\pi/2$. В самой точке $x=\pi$ ряд даёт 0, среднее односторонних пределов (сравните с теоремой Дирихле из предыдущей точки).

Итак: сходящийся ряд непрерывных функций с разрывной суммой. Теорема Коши неверна.

Чего не хватало. Понятия равномерной сходимости — того самого различия в порядке кванторов, которое введут Зайдель и СтоксДжордж Габриэль Стоксбританский математик и физик · 1819–1903Вывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года. (1847) и окончательно оформит Вейерштрасс.

Абель, однако, доказывает верный частный случай:

Теорема Абеля о степенных рядах. Если $\sum a_{n}$ сходится, то степенной ряд $f(x)=\sum a_{n}x^{n}$ непрерывен слева в точке $x=1$:

$$\lim_{x\to1^{-}}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}.$$

По существу это утверждение о равномерной сходимости на $[0,1]$ — за двадцать лет до того, как понятие получило имя.

Применение, которое стоит показать. Ряд $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ сходится при $|x|<1$. Что происходит при $x=1$? Числовой ряд $1-\frac12+\frac13-\cdots$ сходится (признак ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем».). По теореме Абеля его сумма равна $\lim_{x\to1^-}\ln(1+x) = \ln 2$:

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots = \ln 2.$$

Аналогично из $\arctg x$:

$$1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots = \frac{\pi}{4}$$

— ряд Мадхавы, Грегори и Лейбница, впервые строго обоснованный именно здесь.

Прочее

• Признак Абеля сходимости рядов; преобразование Абеля (суммирование по частям) — дискретный аналог интегрирования по частям, рабочий инструмент до сих пор.
• Абелево суммирование расходящихся рядов: $\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}\sum a_{n}x^{n}$. Ирония: человек, назвавший расходящиеся ряды выдумкой дьявола, дал главный метод придания им смысла. Именно по Абелю $1-1+1-1+\cdots=\frac12$, как и писал ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя..
• Теорема Абеля — Руффини (1824) и абелевы группы, названные в его честь ЖорданомКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным..
• Абелевы функции, эллиптические функции (одновременно с ЯкобиКарл Густав Якобинемецкий математик · 1804–1851Соперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар.).

Абелевская премия, учреждённая Норвегией в 2002 году к двухсотлетию, — сегодняшний аналог Нобелевской для математики.