Сергей Львович Соболев

Всякий, кто занимается уравнениями в частных производных, ежедневно произносит «пространство Соболева» и «обобщённая производная». Обе вещи придуманы в Ленинграде в середине тридцатых двадцатисемилетним человеком.

Обобщённое решение

Классическое решение уравнения обязано иметь все производные, входящие в уравнение. Требование выглядит естественным и на деле губительно: у волнового уравнения решением бывает разрыв (ударная волна), у уравнения теплопроводности начальные данные могут быть негладкими, а физика при этом никуда не девается.

Соболев в 1935–1936 годах предложил выход: считать решением не функцию с производными, а функцию, которая правильно ведёт себя под интегралом. Формально: $u$ есть обобщённое решение, если для всякой гладкой финитной $\varphi$ выполнено тождество, полученное из уравнения интегрированием по частям, — все производные при этом переброшены на $\varphi$.

Производная перестаёт быть пределом отношения и становится тем, что делает верной формулу интегрирования по частям. Ход этот — тот же самый, которым Лоран Шварц в 1944–1945 годах построил теорию распределений, сделавшую дельта-функцию Дирака законной. Шварц пришёл к нему независимо и довёл до общей теории; приоритет Соболева он всегда признавал.

Пространства Соболева

Из обобщённых производных вырастает то, что носит его имя: $W^{k}_{p}$ — пространство функций, у которых обобщённые производные до порядка $k$ лежат в $L_p$.

Ценность их в теоремах вложения: если $u$ имеет обобщённые производные достаточно высокого порядка, то она заведомо непрерывна, или ограничена, или лежит в $L_q$ с бо́льшим $q$. То есть слабое требование в интегральной форме гарантирует настоящую гладкость — и наоборот, задачу можно решать в широком классе, а потом доказывать, что решение на самом деле хорошее.

Именно так устроена вся современная теория уравнений в частных производных, и именно так Ольга Ладыженская строила теорию уравнений Навье — Стокса.

Три жизни

Родился в 1908 году в Петербурге. Отец умер рано, мать преподавала литературу; школьный курс мальчик прошёл дома. Университет окончил в двадцать один год, учеником Владимира Смирнова, и уже в двадцать четыре стал членом-корреспондентом Академии — самым молодым в её истории.

Вторая жизнь — атомный проект: с 1943 года Соболев — заместитель Курчатова в Лаборатории №2, отвечал за вычислительную сторону работ по разделению изотопов. За это Герой Социалистического Труда и три Сталинские премии; о содержании тех лет он не рассказывал.

Третья — Сибирь. В 1957 году Соболев вместе с Лаврентьевым и Христиановичем основал Сибирское отделение Академии наук, и до 1983 года возглавлял новосибирский Институт математики, ныне носящий его имя. Академгородок — во многом его дело: он же добивался, чтобы там появились физматшкола и университет, где преподают действующие учёные.

Умер в 1989 году в Москве.