Поиск

Карта → персоналии → биография

1875–1941 французский математик

Анри Лебег

Henri Lebesgue

Анри Лебег
Анри Лебег Public domain

Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.

Объяснение, которое Лебег дал сам: лавочник, подсчитывая выручку, может пересчитать монеты в том порядке, в каком они приходили, а может сперва разложить их по номиналу и умножить. Первое — интеграл Римана, второе — интеграл Лебега.

Диссертация 1902 года

Сын типографского рабочего из Бове, стипендиат, выпускник Высшей нормальной школы. «Интеграл, длина, площадь» — диссертация, написанная в двадцать семь лет и перевернувшая анализ.

Схема такая. Сначала строится мера множества — как у Бореля, но продолженная дальше. Потом область значений функции режется на слои, и в каждом слое измеряется множество тех $x$, где функция попадает в этот слой:

$$\int f \,d\mu = \lim \sum_i y_i\,\mu\bigl(\{x : y_i \leqslant f(x) < y_{i+1}\}\bigr).$$

Функция при этом может быть какой угодно скачущей — лишь бы прообразы были измеримы. Дирихлева функция, равная единице на рациональных и нулю на иррациональных, интеграл по Риману не имеет вовсе, а по Лебегу равна нулю.

Главный выигрыш — не в экзотике, а в теоремах о предельном переходе. Теорема о мажорированной сходимости: если $f_n \to f$ почти всюду и все они не превосходят по модулю одной суммируемой функции, то интегралы сходятся к интегралу. У Римана такого нет, и без этого не работает ни теория рядов Фурье, ни теория вероятностей.

Что из этого выросло

Рисс и Фишер (1907) построили на новом интеграле пространство $L^2$ и закрыли вопрос, заданный Фурье в 1807-м. Колмогоров (1933) определил вероятность как меру — и это ровно мера Лебега на абстрактном множестве. Банах, Лузин и вся московская школа выросли из его книг: Лузин слушал Лебега в Париже, а «Лузитания» началась с задач о множествах, поставленных в этой теории.

Сам Лебег к дальнейшим абстракциям относился холодно. «Сведённая к общим теориям математика становится красивой формой без содержания», — писал он и до конца жизни спорил с теми, кто, по его мнению, заходил слишком далеко. К аксиоме выбора и парадоксу Банаха — Тарского он относился с откровенным подозрением.

Профессор Коллеж-де-Франс с 1921 года, член Академии наук. Много занимался школьным преподаванием и историей математики — писал о них с тем же вкусом к отчётливости, что и о мере.

Точки на карте

Где имя встречается в статьях: сначала точки, где этот человек — главный герой, дальше по хронологии.

Все персоналии