Борель: мера входит в вероятность

Работа

Эмиль Борель (1871–1956), уже автор теории меры (1898), публикует в «Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo»:

«Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques» (1909)
«Счётные вероятности и их арифметические приложения»

Название точно описывает содержание: вероятности на счётных совокупностях событий, то есть там, где нужна счётная аддитивность меры.

Слабый закон и усиленный: в чём разница

Это различие стоит объяснять медленно, потому что оно тонкое и в школе обычно смазывается.

Закон больших чисел Бернулли (слабый), 1713. Для любого $\varepsilon>0$

$$P\left(\left|\frac{X_{n}}{n}-p\right|\geqslant\varepsilon\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$

Утверждение о каждом отдельном $n$: при большом $n$ вероятность промаха мала. Но оно не запрещает, чтобы промахи случались бесконечно много раз — просто всё реже.

Усиленный закон Бореля, 1909.

$$P\left(\lim_{n\to\infty}\frac{X_{n}}{n} = p\right) = 1.$$

Утверждение о траектории целиком: почти каждая бесконечная последовательность бросков такова, что частота сходится. Промахи после некоторого момента прекращаются навсегда.

Аналогия, которая помогает. Слабый закон: «в любой заданный год вероятность наводнения мала». Усиленный: «почти в каждой возможной истории наводнения когда-нибудь прекращаются насовсем». Второе гораздо сильнее и требует говорить о вероятности на пространстве бесконечных последовательностей — то есть требует счётно-аддитивной меры. Отсюда и необходимость Бореля именно как теоретика меры.

Приём: лемма Бореля — Кантелли

Инструмент, доказываемый в две строки и работающий повсеместно.

Лемма (первая часть). Если $\sum_{n} P(A_{n}) < \infty$, то с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий $A_n$.

Доказательство. Событие «$A_n$ происходят бесконечно часто» есть $\bigcap_{N}\bigcup_{n\geqslant N}A_{n}$. Для каждого $N$

$$P\left(\bigcup_{n\geqslant N}A_{n}\right)\leqslant\sum_{n\geqslant N}P(A_{n}) \xrightarrow[N\to\infty]{}0$$

как остаток сходящегося ряда. $\blacksquare$

Как это даёт усиленный закон. Оценим $P(|X_n/n - p|\geqslant\varepsilon)$ через четвёртые моменты (Борель считал именно так). Для $p=1/2$ и центрированных слагаемых $E[(X_n - n/2)^4] = O(n^2)$, и по неравенству МарковаАндрей Андреевич Марковрусский математик · 1856–1922Придумал цепи зависимых событий, чтобы выиграть спор о том, обязательна ли независимость для закона больших чисел, — и проверил их на буквах «Евгения Онегина».

$$P\left(\left|\frac{X_{n}}{n}-\frac12\right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant\frac{E\left[(X_n-n/2)^{4}\right]}{n^{4}\varepsilon^{4}} = O\!\left(\frac{1}{n^{2}\varepsilon^{4}}\right).$$

Ряд $\sum 1/n^{2}$ сходится — и лемма Бореля — Кантелли немедленно даёт, что промахи происходят лишь конечное число раз. Значит, частота сходится почти наверное.

Обратите внимание на механизм: чебышёвская оценка через вторые моменты даёт $1/n$, ряд расходится, и ничего не выходит; четвёртые моменты дают $1/n^2$, ряд сходится, и всё получается. Один порядок момента решает дело.

Вторая часть леммы (для независимых $A_n$: если $\sum P(A_n)=\infty$, то $A_n$ происходят бесконечно часто) даёт закон нуля или единицы — предвестник закона КолмогороваАндрей Николаевич Колмогороврусский и советский математик · 1903–1987Дал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы..

Нормальные числа: неожиданное следствие

Здесь Борель делает ход, который стоит показать любому школьнику, интересующемуся математикой.

Определение. Число $x\in[0,1]$ называется нормальным по основанию 10, если в его десятичной записи каждая цифра встречается с предельной частотой $1/10$, каждая пара цифр — с частотой $1/100$, каждая тройка — $1/1000$ и так далее. Абсолютно нормальным, если это верно в любой системе счисления.

Теорема Бореля. Почти всякое число (то есть все, кроме множества меры нуль) абсолютно нормально.

Доказательство — переформулировка. Возьмём случайное $x$ равномерно на $[0,1]$. Его десятичные цифры — независимые случайные величины, равномерные на $\{0,\ldots,9\}$. Частота цифры 7 среди первых $n$ знаков — это доля успехов в схеме БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. с $p=1/10$. По усиленному закону она сходится к $1/10$ почти наверное. Объединяя по всем цифрам, всем блокам и всем основаниям (счётное объединение множеств меры нуль имеет меру нуль), получаем утверждение. $\blacksquare$

Теорема о вероятностях превратилась в теорему о числах. Это первый и до сих пор один из лучших примеров вероятностного метода в чистой математике — за сорок лет до ЭрдёшаПал Эрдёшвенгерский математик · 1913–1996Полторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом..

И великолепный парадокс. Почти все числа нормальны — но предъявить конкретное нормальное число трудно. Про $\pi$, $e$, $\sqrt2$ нормальность не доказана до сих пор (хотя первые триллионы знаков $\pi$ выглядят безупречно равномерными). Первый явный пример построил Чемперноун в 1933 году, просто выписав подряд все натуральные числа:

$$0{,}12345678910111213141516\ldots$$

Оно нормально по основанию 10 (абсолютная нормальность его не доказана).

Ситуация в точности как у КантораГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. с трансцендентными числами (Кантор): «почти все» доказывается одной строкой, а конкретный пример требует отдельной работы.

Значение для линии

Борель за 24 года до «Grundbegriffe» показал, что вероятность — это мера, и что на этом языке доказываются теоремы, недостижимые прежними средствами. Колмогоров в 1933-м довёл дело до аксиоматики; но образец применения дал Борель.

Оговорка о самом Бореле. Парадоксально, но он не считал теоретико-мерный подход окончательным основанием вероятности и до конца жизни высказывал сомнения в осмысленности «очень малых вероятностей» (его «единый закон случая»: события вероятности меньше $10^{-15}$ в масштабе Земли попросту не происходят). Инструмент он создал, а в фундамент его не верил.

О человеке. Борель был также депутатом парламента, министром военно-морского флота Франции (1925), участником Сопротивления (арестован в 1941-м), основателем Института Анри ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага.. Он же первым (1921–1927) занялся математической теорией игр, до фон НейманаДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь..