Фон Мизес: случайно то, где нельзя выиграть системой

К 1919 году про случайность было известно многое и не было известно главное. Лаплас объяснил, откуда она берётся, Пуанкаре объяснил, почему она неустранима, Борель нашёл у случайного числа первый признак. Определения не было ни у кого. Рихард фон Мизес взялся его дать — и заодно построить на нём всю теорию вероятностей.

Порядок, обратный привычному

Сегодняшний учебник устроен так: сначала вероятность (число, приписанное событию), потом случайная величина, потом последовательность испытаний. Фон Мизес шёл наоборот. Первичен, считал он, коллектив — бесконечная последовательность наблюдений; вероятность есть свойство коллектива, а именно предел частоты. Теория вероятностей должна быть естественной наукой вроде механики, с собственным опытным предметом.

Заказ был не самочинный: шестая проблема Гильберта требовала аксиоматизировать физику, «и в первую очередь теорию вероятностей и механику». Фон Мизес отвечал на неё прямо.

Два требования

Пусть дана бесконечная последовательность нулей и единиц, $k_n$ — число единиц среди первых $n$.

Первое требование — существование предела частоты:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{k_n}{n} = p .$$

Второе требование — нерегулярность. Возьмём любое правило выбора: способ решать про каждый член, брать его в подпоследовательность или нет, глядя только на его номер и на предыдущие члены — но не на него самого и не на будущие. Требуется, чтобы в любой такой подпоследовательности предел частоты был тот же самый $p$.

Почему второе требование — это про игру

Правило выбора — это в точности то, что делает игрок с системой. Он не может изменить исходы; он может решать, на какие розыгрыши ставить, глядя на то, что уже было. Если бы нашлось правило, дающее подпоследовательность с частотой единиц, скажем, $0{,}6$, игрок ставил бы только на выбранные розыгрыши и разорил бы казино.

Фон Мизес возводит в аксиому житейское наблюдение: беспроигрышной системы игры не бывает. Это и есть его определение случайности, и оно поразительно точно передаёт то, что люди на самом деле имеют в виду.

Простой пример на второе требование. Последовательность

010101010101010101…

первому требованию удовлетворяет: частота единиц стремится к $1/2$. Но возьмём правило «брать только члены с чётными номерами» — получим сплошные единицы, частота $1$. Коллективом такая последовательность не является, и это правильно: она очевидно неслучайна.

Где дыра

Вопрос, на который фон Мизес не ответил: какие правила выбора разрешены?

Если разрешить все — коллективов не существует вовсе. Возьмём любую последовательность, в которой бесконечно много единиц, и правило «брать те члены, которые равны единице». Формально это правило смотрит на сам член, а не только на его номер, — но стоит чуть ослабить запрет, и подобные конструкции проходят. Строгую форму возражения сформулировал Эрих Камке в 1933 году, и оно оказалось смертельным для первоначальной редакции.

Чинили дважды.

Абрахам ВальдАбрахам Вальдвенгерско-американский математик и статистик · 1902–1950Придумал последовательный анализ — проверку, которая сама решает, когда остановиться, — и объяснил военным, почему бронировать надо те места самолётов, где пробоин нет. (1937) — тот же, что позже считал пробоины на самолётах, — показал: если заранее выбрать счётный набор правил, то коллективы существуют, и притом почти все последовательности являются коллективами. Значит, требовать надо не «все правила», а «все правила из разумного счётного списка».

Алонзо ЧёрчАлонзо Чёрчамериканский логик и математик · 1903–1995Ответил Гильберту «нет» за семь месяцев до Тьюринга — и сделал это на языке, где нет ни чисел, ни машин, а есть только функции и подстановка; из этого языка выросло функциональное программирование. (1940) сказал, какой список разумен: правила, которые может выполнить машина. Определение стало точным. Оставалось проверить, верное ли оно.

Что от этого осталось

Как основание теории вероятностей программа фон Мизеса проиграла: через четырнадцать лет Колмогоров построил всё на мере, ничего не говоря о случайных последовательностях, и это оказалось и проще, и мощнее. Проиграла и сама конструкция — Вилль показал, что коллектив может быть заведомо неслучайным.

Но идея «случайно то, против чего нет системы» не пропала. Она вернулась дважды: у Вилля — как невозможность разбогатеть на ставках, и через шестьдесят лет у криптографов — как невозможность предсказать следующий бит. Требование «правило не должно подглядывать вперёд» стало в теории мартингалов техническим понятием предсказуемости и работает по сей день.

О человеке

Рихард фон Мизес (1883–1953) родился во Львове, занимался прежде всего механикой жидкости, прочностью и аэродинамикой; в теории пластичности его имя носит критерий текучести. В 1913 году он прочёл, кажется, первый университетский курс о полёте на аппаратах тяжелее воздуха, в Первую мировую конструировал самолёт для австро-венгерской армии и сам был военным лётчиком. Основал журнал прикладной математики ZAMM. В 1933 году, после прихода нацистов к власти, уехал в Стамбул, оттуда в 1939-м в Гарвард.

Вне математики он был крупным знатоком Рильке: собрал одно из лучших в мире собраний его рукописей и изданий и писал о нём работы. Его старший брат Людвиг фон Мизес — знаменитый экономист австрийской школы; братьев легко перепутать, а сходились они мало.