Абрахам Вальд

Вальд занимался задачами, которые ставила война, и почти всегда получалось, что правильный ответ противоположен очевидному.

Клуж и Вена

Родился в 1902 году в Коложваре (нынешний Клуж-Напока), в ортодоксальной еврейской семье. В школу не ходил — по субботам занятия были обязательны, а семья соблюдала шаббат; учился дома у родителей и старшего брата.

В Венском университете попал к Карлу Менгеру и занимался геометрией и топологией. Университетской должности еврею не давали; он зарабатывал репетиторством у экономиста Карла Шлезингера, из чего вышли его первые работы по экономике — доказательство существования равновесия в модели Вальраса, за двадцать лет до Эрроу и Дебрё.

После аншлюса 1938 года уехал в США. Восемь его близких погибли в Освенциме; выжил только один брат.

Пробоины

Самая известная история — из Statistical Research Group, где Вальд работал во время войны.

Военные принесли данные: вернувшиеся бомбардировщики имеют пробоины неравномерно — больше всего в фюзеляже и крыльях, меньше всего в двигателях. Вопрос: где усилить броню?

Ответ военных был очевиден: там, где пробоин больше. Вальд ответил: наоборот, там, где их нет.

Рассуждение простое, если его увидеть. Данные собраны по вернувшимся самолётам. Если в двигатели почти никто не возвращается с пробоинами, это не значит, что туда не попадают, — это значит, что попавшие туда не возвращаются. Броню надо ставить на двигатели.

Сегодня это учебниковый пример систематической ошибки выжившего, и Вальд разобрал его не анекдотически, а формально — с оценкой уязвимости по областям.

Последовательный анализ

Главный его вклад. Классическая проверка гипотез требует заранее назначить объём выборки: проверить сто снарядов и вынести решение. Вальд предложил не назначать.

Последовательный критерий отношения вероятностей: после каждого наблюдения считается отношение правдоподобий и сравнивается с двумя порогами. Выше верхнего — принимаем одну гипотезу, ниже нижнего — другую, между — берём следующее наблюдение. Пороги вычисляются по требуемым вероятностям ошибок первого и второго рода.

Экономия оказалась огромной: в среднем требуется вдвое меньше наблюдений, чем при фиксированном плане, при тех же гарантиях. Для приёмочного контроля боеприпасов это означало вдвое меньше расстрелянных снарядов; метод немедленно засекретили и рассекретили только в 1945-м.

Позже Вальд с Вольфовицем доказали оптимальность критерия: никакая процедура с теми же вероятностями ошибок не требует в среднем меньше наблюдений.

Одновременно и независимо тот же метод придумал в Блетчли-парке Алан Тьюринг — для взлома «Энигмы»; его вариант остался засекреченным на десятилетия.

Теория решений

Третье — общая рамка, которую он выстроил в конце жизни: статистическая теория решений. Статистика рассматривается как игра против природы, у решающего правила есть функция потерь, и задача — выбрать правило с наилучшими гарантиями. Отсюда понятия минимаксного и допустимого правила и мост между статистикой и теорией игр.

В 1950 году Вальд с женой погибли в авиакатастрофе над горами Нилгири в Индии, куда летел читать лекции. Ему было сорок восемь.