Бессель: сколько теряет отрезанный ряд

Астроном, которому понадобилась математика

Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846) в четырнадцать лет пошёл учеником в торговую контору в Бремене. Astronomy он выучил сам, по книгам, ради навигации. В двадцать лет он заново вычислил орбиту кометы ГаллеяЭдмунд Галлейанглийский астроном, геофизик и математик · 1656–1742Известен кометой, но список его дел неправдоподобен даже по меркам эпохи: каталог южных звёзд, первая метеорологическая карта, первая честная таблица дожития — и «Начала» Ньютона, изданные за его счёт. по наблюдениям 1607 года и послал работу Ольберсу; тот немедленно её напечатал. В двадцать шесть Бессель возглавил Кёнигсбергскую обсерваторию — профессором без всякого диплома, почётную докторскую степень для него выхлопотал ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию..

Дальше три вещи, за которые его помнят астрономы.

1838: первое в истории измерение звёздного параллакса — 61 Лебедя, около трети угловой секунды. Расстояние до звезды впервые стало числом, а Вселенная — измеримой.

1844: по едва заметному покачиванию Сириуса Бессель предсказал невидимого спутника. Его нашли в 1862-м; это оказался белый карлик — первый объект, обнаруженный вычислением, а не наблюдением.

1824: функции Бесселя — из теории планетных возмущений; сегодня без них не обходится ни одна задача с круговой симметрией, от колебаний мембраны до дифракции.

Ему же принадлежит «личное уравнение» — открытие того, что разные наблюдатели систематически ошибаются по-разному. С этого началась психология измерения.

Задача: ряд приходится обрывать

Теория возмущений раскладывает движение планеты в тригонометрический ряд. Вычислить можно конечное число членов — и всё время стоит вопрос: насколько мы промахнулись?

Неравенство в три строки

Пусть система $\{e_{n}\}$ ортонормирована, $c_{n}=\langle f,e_{n}\rangle$. Раскроем квадрат нормы остатка, пользуясь ортонормированностью:

$$0\leqslant\Big\|f-\sum_{n=1}^{N}c_{n}e_{n}\Big\|^{2}=\|f\|^{2}-\sum_{n=1}^{N}|c_{n}|^{2}.$$

Левая часть неотрицательна при любом $N$, значит, ряд из квадратов сходится и

$$\boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2}\leqslant\|f\|^{2}.\;}$$

Геометрически это совсем просто: проекция вектора на подпространство не длиннее самого вектора — катет не длиннее гипотенузы.

Три следствия, и второе — главное

Коэффициенты стремятся к нулю. Раз ряд из квадратов сходится, его члены убывают. Для тригонометрической системы это лемма РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. — ЛебегаАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.; она же объясняет, почему обратные задачи неустойчивы: быстрая рябь почти не видна в данных, и её приходится подавлять регуляризацией.

Коэффициенты ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. — наилучшие. Возьмём любые числа $a_{n}$ и посчитаем ошибку приближения:

$$\Big\|f-\sum_{n\leqslant N}a_{n}e_{n}\Big\|^{2}=\|f\|^{2}-\sum_{n\leqslant N}|c_{n}|^{2}+\sum_{n\leqslant N}|a_{n}-c_{n}|^{2}.$$

Первые два слагаемых от нашего выбора не зависят, третье неотрицательно и обращается в нуль ровно при $a_{n}=c_{n}$. Значит, отрезанный ряд Фурье — это наилучшее приближение функции в среднем квадратичном, и притом ортогональная проекция на подпространство.

Отсюда, между прочим, видно, что разложение по ортогональной системе и метод наименьших квадратов — это одна и та же вещь: и там и там минимизируется сумма квадратов отклонений, и ответом служит проекция.

Равенство равносильно полноте. Неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля тогда и только тогда, когда остаток стремится к нулю, то есть когда системе нечего добавить.

Кёнигсберг

При Бесселе город стал научным центром: с 1826 года здесь ЯкобиКарл Густав Якобинемецкий математик · 1804–1851Соперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар., с 1828-го физик Франц Нейман, и втроём они завели в 1834-м математико-физический семинар — форму обучения, которую потом переймёт Гёттинген и через него весь мир. На нашей карте Кёнигсберг встретится ещё дважды: теоремой Гильберта о базисе и докладом Гёделя в сентябре 1930 года.

Что стало с неравенством

Оно стало определением. В абстрактном пространстве неравенство Бесселя верно для любой ортонормированной системы, и именно конечность суммы $\sum|c_{n}|^{2}$ позволяет сопоставить функции последовательность её коэффициентов. Пространство таких последовательностей Гильберт и возьмёт за основу — оно и называется $\ell^{2}$ потому, что неравенство Бесселя не оставляет другого выбора.

Следующая точка: Париж, 1836 — струна, у которой нет формулы, и первый «спектр».