Карта → событие
КАМ: устойчивость почти-периодических движений
Вопрос, который был открыт двести лет
Планета вокруг Солнца движется по эллипсу — это задача двух тел, решённая точно. Планет, однако, больше, и каждая тянет каждую. Устойчива ли эта конструкция? Не сорвётся ли Земля с орбиты через миллион оборотов?
Со времён ЛапласаПьер-Симон ЛапласСвёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. вопрос решали разложениями: движение при отсутствии взаимного притяжения — известно, притяжение мало, значит, поправку можно искать рядом по малому параметру. Лаплас на этом пути объяснил «великое неравенство» Юпитера и Сатурна — колебание с периодом около девятисот лет.
ПуанкареАнри ПуанкареПоследний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. в «Новых методах небесной механики» (1892–1899) показал, что этот путь принципиально сломан: ряды теории возмущений, как правило, расходятся. Он же обнаружил у возмущённой системы бесконечно сложное поведение (гомоклиническая структура — то, что сегодня называют хаосом). Общий вывод, который из этого сделали, был мрачным: условно-периодические движения разрушаются любым возмущением.
Малые знаменатели — в чём беда
Пусть невозмущённое движение — это вращение по тору с частотами $\omega=(\omega_1,\dots,\omega_n)$. Поправка первого порядка получается разложением возмущения в ряд ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. по угловым переменным, и у каждого слагаемого в знаменателе оказывается
$$\langle k,\omega\rangle = k_1\omega_1+\cdots+k_n\omega_n, \qquad k\in\mathbb{Z}^{n}.$$
Если отношение частот рационально, какой-то знаменатель равен нулю — это резонанс. Если иррационально, но хорошо приближается рациональными, знаменатели бывают сколь угодно малы, и ряд разваливается.
Юпитер и Сатурн — как раз почти резонанс: отношение периодов близко к $5:2$, знаменатель $2\omega_{\text{Ю}}-5\omega_{\text{С}}$ мал, и именно поэтому лапласово «великое неравенство» так велико.
Ответ КолмогороваАндрей Николаевич КолмогоровДал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы.
А. Н. Колмогоров. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции ГамильтонаУильям Роуэн ГамильтонПятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности.. ДАН СССР, 1954, т. 98, № 4. Четыре страницы.
В сентябре того же года он излагает это на пленарном докладе Международного конгресса в Амстердаме — «Общая теория динамических систем и классическая механика».
Формулировка. Пусть $H = H_0(I) + \varepsilon H_1(I,\varphi)$, где невозмущённая система невырождена: $\det\left(\partial^{2}H_0/\partial I^{2}\right)\ne 0$. Тогда при достаточно малом $\varepsilon$ большинство инвариантных торов не разрушается, а лишь слегка деформируется. Уцелевают те, чей вектор частот диофантов:
$$|\langle k,\omega\rangle| \ \geqslant\ \frac{\gamma}{|k|^{\tau}} \qquad \text{для всех } k\ne 0,$$
то есть плохо приближается резонансами. Мера множества разрушенных торов стремится к нулю вместе с $\varepsilon$.
Геометрия ответа поразительна. Уцелевшие торы образуют множество, дырявое как канторово — нигде не плотное, между любыми двумя торами есть щель, — но занимающее почти всю меру. Фазовое пространство оказывается устроено как канторово множество с точки зрения топологии и как множество полной меры (Лебег) с точки зрения ЛебегаАнри ЛебегПредложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.. Два понятия «большинства», которые вся эта линия так долго училась различать, здесь расходятся максимально, и оба нужны.
Почему эта точка — в линии анализа
Ключ не в механике, а в методе.
Обычная теория возмущений строит поправки шаг за шагом, и ошибка убывает линейно: $\varepsilon,\ \varepsilon^{2},\ \varepsilon^{3},\dots$ Малые знаменатели растут быстрее, и ряд проигрывает.
Колмогоров вместо этого применяет метод НьютонаИсаак НьютонСоздатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику.: на каждом шаге не следующий член ряда, а полное переприближение, после которого ошибка возводится в квадрат:
$$\varepsilon_{n+1} \sim \frac{\varepsilon_n^{2}}{\gamma^{a}}.$$
Квадратичная (сверхбыстрая) сходимость обгоняет рост знаменателей — и то, что расходилось, сходится.
Это ньютоновская итерация не для числа, а в пространстве функций, с потерей гладкости на каждом шаге, компенсируемой сглаживанием. Через два года ту же идею независимо применит Нэш в теореме о вложении римановых многообразий, а Мозер вытащит её из обоих контекстов в общий вид — теорему о неявной функции Нэша — Мозера, работающую в пространствах Фреше.
Так что КАМ — это не глава небесной механики, случайно попавшая на карту анализа. Это место, где абстрактные пространства из начала XX века впервые понадобились для по-настоящему трудного конкретного результата.
Кто что доказал
| Год | Кто | Что |
|---|---|---|
| 1954 | Колмогоров | формулировка и схема доказательства |
| 1962 | Мозер | случай конечной гладкости (в первой версии требовалось 333 производные) |
| 1963 | АрнольдВладимир Игоревич АрнольдДевятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих… | полное доказательство в аналитическом случае, вырожденные системы, приложение к планетной задаче |
Отсюда и название: Колмогоров — Арнольд — Мозер.
Подробного текста своего доказательства Колмогоров не публиковал — он излагал его на лекциях, и вопрос о полноте четырёхстраничной схемы обсуждался десятилетиями. Сегодня принято считать, что схема была верна и по существу полна.
Арнольд позже сформулировал ещё и обратную сторону медали: в системах с числом степеней свободы больше двух уцелевшие торы не разделяют фазовое пространство, и по щелям между ними возможен медленный дрейф — диффузия Арнольда (1964).
Так устойчива ли Солнечная система
Нет. И теорема этого не утверждает.
КАМ требует очень малого $\varepsilon$ — настолько малого, что реальные массы планет (Юпитер — тысячная доля массы Солнца) на много порядков превышают порог, при котором доказательство работает. Арнольд доказал вариант для планетной задачи, но с массами, которых в природе не бывает.
Что известно сегодня — известно из численного счёта. Ласкар (1989, 1994) показал, что внутренняя часть Солнечной системы хаотична: время предсказуемости порядка пяти миллионов лет, ошибка в положении Земли на 15 метров вырастает до размеров орбиты за сто миллионов. Ласкар и Гастино (2009) при массовом счёте вариантов получили около одного процента сценариев, где за ближайшие пять миллиардов лет орбита Меркурия дестабилизируется — вплоть до столкновения с Венерой или падения на Солнце.
Итог честный: система хаотична, но хаос медленный. КАМ объясняет, почему она не рассыпается сразу; вечности она не гарантирует.
Где $\varepsilon$ действительно мал
Там теория работает буквально:
- ускорители заряженных частиц — устойчивость пучка на миллионах оборотов это в точности вопрос о сохранении инвариантных торов;
- удержание плазмы в токамаке — магнитные поверхности суть те же торы, и их разрушение резонансами губит удержание;
- пояс астероидов: там, где период обращения находится в точном резонансе с Юпитером ($3:1$, $5:2$, $7:3$), торы разрушены, орбиты хаотичны, и астероидов нет — щели Кирквуда. Это видно в телескоп: теорема о малых знаменателях нарисована на небе пустотами.
Следующая точка: Москва, 1956 — тот же человек, почти те же годы, и снова ответ на вопрос из парижского списка.