Мергелян: приближение многочленами

Вопрос

В 1885 году ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. доказал теорему, которую знает всякий: любая непрерывная на отрезке функция — равномерный предел многочленов. Никаких условий, кроме непрерывности. (Тот же Вейерштрасс, что и в точке о Вейерштрассе, и тот же год.)

Естественно спросить: а в комплексной плоскости? Пусть $K\subset\mathbb{C}$ — компакт, $f$ непрерывна на $K$. Можно ли приблизить её многочленами равномерно на $K$?

Ответ — нет, и мешают ровно две вещи.

Препятствие первое: голоморфность. Многочлен голоморфен, а равномерный предел голоморфных функций голоморфен (теорема Вейерштрасса о сходимости). Значит, если у $K$ есть внутренность, то $f$ обязана быть голоморфной внутри. Это необходимо.

Препятствие второе: топология дополнения. Возьмём единичную окружность $K=\{|z|=1\}$ — компакт без внутренних точек, так что первое препятствие молчит. И возьмём $f(z)=1/z$, функцию непрерывную на $K$.

Пусть $p_n\to f$ равномерно на $K$. Тогда

$$\oint_{|z|=1} p_n(z)\,dz \longrightarrow \oint_{|z|=1}\frac{dz}{z} = 2\pi i.$$

Но интеграл многочлена по замкнутому контуру равен нулю — по теореме КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., а хоть и просто потому, что у $z^{k}$ есть первообразная. Слева стоит ноль, справа $2\pi i$. Противоречие.

Приблизить не вышло, и виновата дырка: дополнение к окружности состоит из двух кусков — внутреннего диска и внешности. Дополнение должно быть связным.

Этот пример стоит того, чтобы разобрать его со школьниками: он полностью элементарен и показывает, что в комплексной плоскости геометрия множества управляет тем, что на нём можно вычислять.

Теорема

Мергелян доказал, что двух этих очевидных препятствий достаточно. Больше ничего не мешает.

Теорема Мергеляна (1951). Пусть $K\subset\mathbb{C}$ — компакт, дополнение $\mathbb{C}\setminus K$ связно. Тогда всякая функция, непрерывная на $K$ и голоморфная во внутренних точках $K$, есть равномерный предел многочленов на $K$.

Условия необходимы (мы только что это проверили) и достаточны. Такие теоремы называют окончательными не из вежливости: после них у задачи не остаётся продолжения.

Лестница, которая вела к ней

Год	Кто	Что
1885	Вейерштрасс	вещественный отрезок, любая непрерывная функция
1885	Рунге	приближение рациональными функциями с полюсами вне $K$
1926	Уолш	жордановы области
1934	Лаврентьев	$K$ без внутренних точек, дополнение связно
1945	Келдыш	замыкания областей
1951	Мергелян	общий случай; всё предыдущее — частные случаи

Шестьдесят шесть лет и пять предшественников, четверо из которых — крупные имена; последние двое, Лаврентьев и Келдыш, — учителя самого Мергеляна.

Контраст, ради которого точка стоит в этой линии

Сравним два утверждения.

В вещественном случае (Вейерштрасс, а в общем виде — Стоун, 1937): многочлены приближают всё непрерывное. Никаких условий.

В комплексном случае (Мергелян): многочлены приближают только голоморфное внутри и только на множествах без дырок.

Разница не в технике, а в природе объекта. Голоморфная функция жёстка: её значения на маленьком кружке определяют её всюду в области. Непрерывная вещественная функция мягка: её можно менять на одном участке, не трогая другие. Приближение многочленами наследует эту жёсткость — и теорема Мергеляна точно измеряет, сколько именно свободы остаётся.

Заодно это ещё один сюжет о том же, о чём вся линия: чем богаче структура, тем меньше в ней обитателей. Мера позволила интегрировать больше функций; голоморфность позволяет приближать меньше.

Что осталось после

Для рационального приближения (полюсы разрешены внутри дырок) аналогичный критерий оказался куда труднее и был получен Витушкиным в 1966 году — через понятие аналитической ёмкости. То есть полиномиальный случай, закрытый Мергеляном, оказался ещё и самым удачливым.

Человек

Сергей Никитович Мергелян (1928, Симферополь — 2008, Лос-Анджелес). Окончил Ереванский университет в 1947 году, девятнадцати лет, и уехал в аспирантуру в Москву, к Лаврентьеву и Келдышу.

Докторскую степень ему присудили в 1949 году — в двадцать один год; совет возглавлял И. М. ВиноградовИван Матвеевич Виноградовсоветский математик · 1891–1983Придумал метод тригонометрических сумм и доказал им тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших нечётных чисел — впервые взяв аддитивную задачу о простых без всяких недоказанных гипотез.. Это до сих пор рекорд для советской математики. Членом-корреспондентом АН СССР он стал в 1953-м, в двадцать пять, — тоже рекорд. Сталинская премия — 1952.

Дальше биография сворачивает в сторону, которую от математика такого класса не ждёшь: в 1956 году Мергелян основывает в Ереване Вычислительный центр Академии наук Армянской ССР, а затем Институт математики. При нём Армения становится одним из центров советской вычислительной техники — там разрабатывают машины серии «Раздан». Позже он вернулся в Москву, а в 1990-е уехал в США, где и умер.

Замечание о географии: теорема сделана в московской аспирантуре, поэтому точка стоит в Москве. Ереван — это уже следующая глава его биографии, и она относится не к анализу, а к истории вычислительной техники.

Следующая точка: Москва, 1954 — тот же город и почти то же время, но вопрос приходит из небесной механики.