Гельфанд и Наймарк: пространство из алгебры

Обещанный стык

В точке о характерах Фробениуса сказано, что теория представлений для непрерывных групп вынуждена стать бесконечномерной и слиться с функциональным анализом. Вот эта точка.

Задача

К 1930-м годам сложилась следующая картина.

Со стороны алгебры (Nullstellensatz): точки алгебраического многообразия восстанавливаются как максимальные идеалы кольца функций.

Со стороны анализа: в квантовой механике наблюдаемые суть самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве; алгебры операторов изучали фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. и Мюррей (с 1929 года).

Вопрос: можно ли охарактеризовать алгебры вида $C(X)$ — непрерывных функций на компакте — чисто алгебраически, не упоминая $X$?

Аксиомы

Банахова алгебра — банахово пространство $A$ с умножением, для которого $\|ab\|\leqslant\|a\|\,\|b\|$.

C*-алгебра — банахова алгебра над $\mathbb{C}$ с инволюцией $a\mapsto a^{*}$ (аналог комплексного сопряжения), удовлетворяющей единственному дополнительному условию:

$$\boxed{\;\left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}\;}$$

C*-тождество выглядит невинно, но оно чрезвычайно жёсткое: оно намертво связывает норму с алгебраической структурой. Следствие: норма на C*-алгебре единственна — её нельзя выбрать, она определяется алгеброй.

Примеры:

• $C(X)$ — непрерывные функции на компакте, с $\|f\|=\sup|f|$ и $f^{*}=\bar f$. Коммутативна.
• $B(H)$ — ограниченные операторы в гильбертовом пространстве, с операторной нормой и сопряжением. Некоммутативна.
• $M_{n}(\mathbb{C})$ — матрицы. Некоммутативна.

Первая теорема Гельфанда — Наймарка

Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, «On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space», Математический сборник 12 (1943).

Теорема (коммутативный случай). Всякая коммутативная C*-алгебра с единицей изометрически *-изоморфна алгебре $C(X)$ непрерывных функций на некотором компакте $X$.

Причём $X$ строится по алгебре: это множество её максимальных идеалов (эквивалентно — ненулевых гомоморфизмов $A\to\mathbb{C}$) со слабой топологией. Оно называется спектром, а сама конструкция — преобразованием Гельфанда:

$$a\longmapsto\hat a, \qquad \hat a(\chi)=\chi(a).$$

Содержание. Компактное хаусдорфово пространство и коммутативная C*-алгебра — одно и то же, записанное по-разному. Соответствие взаимно однозначно и переводит непрерывные отображения пространств в гомоморфизмы алгебр (со сменой направления).

$$\left\{\text{компакты}\right\}^{\mathrm{op}} \;\;\longleftrightarrow\;\; \left\{\text{коммутативные C}^{*}\text{-алгебры}\right\}$$

Вторая теорема (там же): всякая C*-алгебра, в том числе некоммутативная, изометрически вкладывается в $B(H)$ — то есть реализуется операторами в гильбертовом пространстве. Конструкция известна как GNS (Гельфанд — Наймарк — Сигал).

Почему это точка линии алгебры

Потому что она устанавливает третье воплощение одной и той же идеи.

Область	Пространство	Алгебра	Точки суть
Алгебраическая геометрия (ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., 1893)	аффинное многообразие	$k[x_1,\ldots,x_n]/I$	максимальные идеалы
Топология (Гельфанд — Наймарк, 1943)	компакт	$C(X)$	максимальные идеалы
Теория схем (ГротендикАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне., 1958)	схема	любое кольцо	простые идеалы

Во всех трёх случаях: геометрический объект полностью кодируется алгеброй функций на нём.

И во всех трёх случаях напрашивается один и тот же ход: взять алгебру, которая не является алгеброй функций ни на каком пространстве, и объявить, что она задаёт «обобщённое пространство».

• Гротендик: берём кольцо с нильпотентами → схема с «бесконечно малыми утолщениями».
• Ален Кон (с 1980-х): берём некоммутативную C*-алгебру → некоммутативное пространство.
• Дринфельд: берём некоммутативную алгебру ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. → квантовая группа.

Точка о квантовых группах без этой предыстории повисает: непонятно, откуда взялась сама идея «группа, у которой нет точек». Она взялась отсюда.

Некоммутативная геометрия

Программа Кона состоит в том, чтобы перевести всю геометрию на язык алгебр и затем снять условие коммутативности:

Геометрия	Алгебра
компакт	коммутативная C*-алгебра
векторное расслоение	проективный модуль (теорема СерраЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все. — Свона)
дифференциальные формы	циклические когомологии
оператор ДиракаПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили.	спектральная тройка
мера	след на алгебре

Работает это для объектов, у которых «точек нет» по существу: пространств листов слоения, пространств орбит плохих групповых действий, фазового пространства квантовой механики. Кон получил Филдсовскую медаль в 1982 году.

Люди

Израиль Моисеевич Гельфанд (1913–2009) — фигура исключительная даже в этом списке. Университетского образования не получил: был исключён из школы (отец — владелец мельницы, «лишенец»), приехал в Москву в 1930 году в 16 лет, работал вахтёром в Ленинской библиотеке и ходил на лекции. В 1932-м КолмогоровАндрей Николаевич Колмогороврусский и советский математик · 1903–1987Дал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы. взял его в аспирантуру без диплома.

Диссертация 1938 года создала теорию банаховых алгебр (тогда «нормированных колец») — предмет, которого до неё не существовало.

Дальше — работы по теории представлений (с Наймарком: бесконечномерные представления группы Лоренца, 1947), обобщённым функциям (шеститомник с Шиловым — фактически параллельная ШварцуЛоран Шварцфранцузский математик · 1915–2002Узаконил дельта-функцию Дирака, которой физики пользовались двадцать лет вопреки математике: перестал спрашивать, чему объект равен в точке, и стал спрашивать, что он делает под интегралом. теория, точка о Шварце), интегральной геометрии (преобразование Гельфанда — Граева, теоретическая основа томографии), теории интегрируемых систем, биологии и медицине (клеточная физиология, диагностические алгоритмы).

Семинар Гельфанда в МГУ работал более полувека и был легендарным институтом: заседания шли по многу часов, докладчиков перебивали, участники (Кириллов, Березин, Дынкин, Манин, АрнольдВладимир Игоревич Арнольдсоветский и российский математик · 1937–2010Девятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих…, Каждан, ДринфельдВладимир Дринфельдсоветский и американский математик · род. 1954Придумал квантовые группы — деформацию алгебры, из которой инварианты узлов получаются пачками; шестнадцати лет выступал на международном конгрессе, в тридцать шесть получил Филдсовскую медаль.) составили значительную часть советской математической школы.

С 1990 года — в США (Ратгерс). Премия Вольфа (1978), премия Киото (1989).

Марк Аронович Наймарк (1909–1978) — соавтор ключевых работ по C*-алгебрам и теории представлений; его учебник «Нормированные кольца» (1956) был основным в мире.

Соседние точки: Фробениус → Нётер → Гельфанд и Наймарк → Дринфельд; связана с точкой о Гротендике.

Следующая точка: Москва — неразрешимость приходит в обычную алгебру.