Лоран Шварц

Всякий, кто занимается уравнениями, ежедневно пользуется тем, что придумал Шварц одной ночью в оккупированной Франции.

Ночь в Ферраке

Родился в 1915 году в Париже, в семье хирурга; двоюродный дед — Жак Адамар, на племяннице которого он женился. Высшая нормальная школа, выпуск 1937 года.

Дальше — война. Шварц был евреем и троцкистом, что в оккупированной Франции означало двойную опасность; он жил по подложным документам на фамилию Селимартен, прятался в Клермон-Ферране, потом в деревне под Греноблем.

Решающая ночь — ноябрь 1944 года; сам он назвал её прекраснейшей ночью своей жизни. В 1944–45 учебном году он преподавал в Нанси, и туда же относят открытие.

Что он сделал

Задача была старая. Физикам нужен объект $\delta(x)$: нулевой всюду, кроме точки, с единичным интегралом. Дирак пользовался им свободно, математики говорили, что такой функции нет, и были правы.

Ключевая мысль Шварца: перестать спрашивать, чему объект равен в точке. Спрашивать надо, что он делает с пробными функциями. Распределение — это линейный непрерывный функционал на пространстве гладких финитных функций; $\delta$ — тот, который сопоставляет функции её значение в нуле. Никакого противоречия нет, потому что нет и утверждения о значениях.

Выигрыш огромен. У всякого распределения есть производные всех порядков — производная определяется перебросом на пробную функцию через интегрирование по частям. Ступенька дифференцируема, и её производная есть $\delta$. Уравнения, у которых не было решений в классическом смысле, обретают их; обобщённые решения Соболева, введённые девятью годами раньше, оказываются частным случаем, и Шварц всегда это подчёркивал.

Он же ввёл пространство $\mathcal{S}$ быстро убывающих функций, на котором преобразование Фурье становится взаимно однозначным отображением на себя, — и распространил Фурье на объекты, которые ни в каком классическом смысле не преобразуются.

И честно указал границу: распределения нельзя перемножать. В 1954 году он сам доказал теорему о невозможности — никакой ассоциативной операции умножения, согласованной с обычной, не существует. Это до сих пор главное препятствие в квантовой теории поля.

Филдсовская медаль 1950 года — первая, полученная французом.

Учитель и гражданин

Из его семинара вышло поколение французской математики; Гротендик был его учеником — Шварц дал ему список из четырнадцати нерешённых задач, и тот через несколько месяцев вернулся, решив их все.

Вторая половина жизни — политика. Шварц выступал против войны в Алжире и подписал «манифест 121»; за это лишился кафедры в Политехнической школе на несколько лет. Позже — против войны во Вьетнаме, за преследуемых учёных в СССР, Чехословакии, Аргентине: он вёл этим систематическую, многолетнюю работу, добиваясь освобождения конкретных людей.

Умер в 2002 году в Париже.

⚠ Однофамилец: неравенство Коши — Буняковского — Шварца носит имя Германа Шварца, немецкого математика XIX века, к Лорану отношения не имеющего.