Гротендик в Сан-Паулу: непрочитанное «Résumé»

Кто это был в 1953 году

Двадцатипятилетний аналитик, только что защитивший в Нанси диссертацию о топологических тензорных произведениях и ядерных пространствах. Руководители — Лоран ШварцЛоран Шварцфранцузский математик · 1915–2002Узаконил дельта-функцию Дирака, которой физики пользовались двадцать лет вопреки математике: перестал спрашивать, чему объект равен в точке, и стал спрашивать, что он делает под интегралом. и Жан Дьёдонне; известен рассказ о том, как они дали ему список из четырнадцати нерешённых задач своей области, предложив взять одну, — а он через несколько месяцев вернулся с решениями всех.

Об алгебраической геометрии речи ещё нет. Гротендик — функциональный аналитик, и в 1953–1954 годах он работает в университете Сан-Паулу.

В чём была задача

В конечной размерности тензорное произведение одно. Для банаховых пространств — беда: норму на $X\otimes Y$ можно задать многими способами, и разные способы дают разные пополнения. Два крайних:

$$\|u\|_{\pi}=\inf\Big\{\textstyle\sum_{i}\|x_{i}\|\,\|y_{i}\|\;:\;u=\sum_{i}x_{i}\otimes y_{i}\Big\}\quad(\text{наибольшая}),$$

$$\|u\|_{\varepsilon}=\sup\Big\{\big|\textstyle\sum_{i}f(x_{i})\,g(y_{i})\big|\;:\;\|f\|\leqslant1,\ \|g\|\leqslant1\Big\}\quad(\text{наименьшая}).$$

Гротендик разбирает всё семейство норм между ними, устанавливает двойственности и выделяет класс пространств, где две крайние нормы совпадают, — ядерные пространства.

Практический смысл ядерности: именно для таких пространств верна теорема о ядре — всякий разумный билинейный функционал задаётся «матрицей с непрерывным номером». Для пространства основных функций это в точности теорема Шварца о ядре, объясняющая, почему распределения устроены так удобно.

Неравенство Гротендика

Главный результат «Résumé» Гротендик сам назвал фундаментальной теоремой метрической теории тензорных произведений. Формулировка выглядит элементарно.

Пусть матрица $(a_{ij})$ такова, что при любых числах $s_{i},t_{j}\in[-1,1]$
$$\Big|\sum_{i,j}a_{ij}\,s_{i}t_{j}\Big|\leqslant1.$$
Тогда при любых векторах $x_{i},y_{j}$ единичной длины в любом гильбертовом пространстве
$$\Big|\sum_{i,j}a_{ij}\,\langle x_{i},y_{j}\rangle\Big|\leqslant K_{G}.$$

Смысл. Замена чисел $\pm1$ на единичные векторы в пространстве любой размерности стоит не больше, чем универсальный множитель. Ни размерность, ни размер матрицы значения не имеют.

Точное значение $K_{G}$ неизвестно до сих пор — одна из старейших нерешённых задач о конкретной константе. Верхняя оценка Кривина (1977) даёт

$$K_{G}\leqslant\frac{\pi}{2\ln(1+\sqrt{2})}\approx1{,}7822,$$

и долго считалось, что это ответ; в 2011 году доказали, что оценка Кривина не точна, — но чему равно истинное значение, по-прежнему не знает никто. Снизу известно примерно $1{,}6769$.

Пятнадцать лет тишины

Работа вышла в «Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo» — журнале с крошечным тиражом, на французском языке, объёмом под восемьдесят страниц, написанная в предельно сжатой манере. Её не прочитали.

Расшифровали её только в 1968 году Йорам Линденштраусс и Александр Пельчинский, переведя на язык абсолютно суммирующих операторов, — и опубликовали перевод в той же «Studia Mathematica», львовском журнале БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей.. После этого работа породила целую индустрию.

Что из этого выросло

Локальная теория банаховых пространств. Изучать бесконечномерное пространство через его конечномерные подпространства с контролем констант. Отсюда теорема Дворецкого — вопрос поставил сам Гротендик, а ответ пришёл через восемь лет из Иерусалима, — а с нею асимптотическая геометрия и явление концентрации меры.

Квантовая физика. В 1980 году Борис Цирельсон заметил, что неравенство Гротендика в точности отвечает на вопрос, насколько квантовые корреляции могут превзойти классические в неравенствах Белла: константа Гротендика есть предельное отношение «квантового» к «классическому» для целого класса таких задач.

Информатика. Задача о максимуме билинейной формы по знакам $\pm1$ NP-трудна; замена знаков на векторы даёт полуопределённую релаксацию, которая считается за полиномиальное время, — а неравенство Гротендика говорит, что мы потеряли не более чем в $K_{G}$ раз. На этом стоит алгоритм приближения нормы разреза (Алон и Наор, 2004) и целое семейство приближённых алгоритмов. Тот же Линденштраусс, кстати, — соавтор леммы о случайной проекции.

Потом

В 1955 году Гротендик уезжает в Канзас и меняет область. Дальше будут гомологическая алгебра, схемы, IHÉS и полное переустройство алгебраической геометрии. К функциональному анализу он не вернулся ни разу.

В коллекции «похороненных результатов» нашей карты «Résumé» — самый парадоксальный экспонат: похоронен был текст живого классика, написанный на главном языке математики того времени и никем не спрятанный. Достаточно оказалось выбрать неудачный журнал и слишком плотно писать.

Следующая точка: Воронеж, 1956 — топология идёт на службу нелинейным уравнениям.