Красносельский: топология против нелинейных уравнений

Где кончается линейная теория

Для линейного уравнения $Ax=f$ есть исчерпывающий ответ — альтернатива ФредгольмаЭрик Ивар Фредгольмшведский математик · 1866–1927Показал, что интегральное уравнение ведёт себя как система линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных, — и линейная алгебра пережила переход в бесконечную размерность.: либо решение единственно при любой правой части, либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение. Считать ничего не надо, достаточно знать оператор.

Для нелинейного уравнения $x=A(x)$ не работает ничего из этого. Решений может быть нуль, одно, три, континуум; они могут появляться и исчезать при изменении параметра. Метод последовательных приближений требует сжимаемости, а её обычно нет.

Выход оказался топологическим: доказывать существование решения, не приближаясь к нему ни на шаг.

Одномерный прообраз — из школьного курса

Непрерывная функция, отрицательная на левом конце отрезка и положительная на правом, имеет корень внутри. Доказательство ничего не строит: оно использует только смену знака на границе.

Обобщение этого «знака» на многомерный случай — вращение векторного поля. Пусть на границе области $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ задано непрерывное поле $\Phi$, нигде на границе не обращающееся в нуль. Тогда определено целое число $\gamma(\Phi,\partial\Omega)$ — сколько раз поле «проворачивается», пока точка обходит границу.

Размерность 1	Размерность $n$
знаки на концах	вращение поля на границе
разные знаки $\Rightarrow$ корень внутри	$\gamma\ne0 \Rightarrow$ нуль поля внутри
знак не меняется при малом шевелении	вращение не меняется при гомотопии

Свойство гомотопической инвариантности и делает вращение рабочим инструментом: поле деформируют к чему-нибудь простому, где вращение видно глазом, и переносят ответ обратно.

Три этажа теории

БрауэрЛёйтзен Брауэрнидерландский математик · 1881–1966За три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено., 1910 (Амстердам, а пятью годами ранее — Рига): непрерывное отображение шара в себя имеет неподвижную точку. Конечномерно.

Шаудер, 1930: то же верно в банаховом пространстве, если отображение компактно (переводит ограниченные множества в предкомпактные). Компактность заменяет конечномерность — и это ровно то свойство, которым обладают интегральные операторы. Юлиуш Шаудер — из львовского круга «Шкоцкой»; в 1943 году он был убит в оккупированном Львове.

ЛереЖан Лерефранцузский математик · 1906–1998В лагере для военнопленных, скрывая от немцев, что он специалист по гидродинамике, придумал теорию пучков и спектральные последовательности — аппарат, на котором стоит вся современная топология. и Шаудер, 1934: теория степени для отображений вида «тождественное минус компактное», с полным набором свойств. Жан Лере через шесть лет будет строить теорию пучков в лагере военнопленных.

Инструмент существовал. Но до середины 1950-х он оставался достоянием немногих специалистов: считалось, что степень Лере — Шаудера — вещь тонкая и для практических уравнений неподъёмная.

Что сделал Красносельский

Книга «Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений» (1956) перевела топологию в инженерное состояние: не «существует общая теория», а «вот рецепты, вот условия, вот как проверить их для вашего уравнения».

Конусы и положительные решения. Во многих задачах решение обязано быть неотрицательным: концентрация, плотность, температура, численность. Красносельский систематически работает в конусе — замкнутом выпуклом множестве, устойчивом относительно положительных множителей, — опираясь на теорему Крейна — Рутмана (1948), бесконечномерный аналог теоремы Перрона — ФробениусаФердинанд Фробениуснемецкий математик · 1849–1917За несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой.. Автор той теоремы — М. Г. Крейн, у которого Красносельский делал кандидатскую в Киеве.

Теорема о растяжении и сжатии конуса. Если оператор на маленькой сфере «толкает наружу», а на большой «втягивает внутрь» (или наоборот), то между ними есть неподвижная точка. Проверка сводится к двум оценкам — и даёт существование положительного решения. На этом до сих пор стоят сотни работ о краевых задачах.

Бифуркации. Если у линеаризации в нуле есть собственное значение нечётной кратности, то соответствующее значение параметра — точка бифуркации: от тривиального решения ответвляется семейство нетривиальных. Физически это потеря устойчивости: продольный изгиб стержня по ЭйлеруЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., выпучивание оболочки, возникновение автоколебаний. Условие «нечётная кратность» топологическое — при чётной кратности вращение не меняется, и гарантии нет.

Направляющие функции — приём для доказательства существования периодических решений: подобрать функцию, вдоль поля убывающую вне большого шара, и вращение посчитается само.

Воронеж

Красносельский приехал в Воронеж в 1952 году и провёл там шестнадцать лет, создав школу нелинейного анализа. С конца 1960-х вокруг неё выросли воронежские зимние математические школы — многодневные съезды, где читались курсы по всему, что тогда было живого в анализе; ездили со всей страны, включая тех, кому в столичных университетах места не находилось. Сам Красносельский с 1968 года работал в Москве, в Институте проблем управления, но на школы приезжать не перестал.

Поздняя его тема стоит упоминания отдельно: вместе с А. В. Покровским он построил математическую теорию систем с гистерезисом (1983) — то есть с памятью, где состояние зависит от всей истории входа. Круг замкнулся: с этого — с наследственных явлений — начинал Вольтерра.

Следующая точка: Дубна, 1956 — из требования причинности выводится аналитичность, а из неё — проверяемые предсказания.