Вольтерра: функции от линий

Что значит «функция от линии»

Обычная функция берёт число и выдаёт число. Вольтерра рассматривает величины, которые берут целую кривую и выдают число:

Что берём	Что получаем
кривую $y(x)$ на отрезке	её длину $\int\sqrt{1+y'^{2}}\,dx$
кривую	площадь под ней
траекторию спуска	время спуска (задача о брахистохроне)
поле $u$ в области	энергию $\int|\nabla u|^{2}\,dx$
историю деформации	напряжение в металле сейчас

Вольтерра называет их funzioni di linee — «функции от линий»; сегодня мы говорим «функционал». Три заметки 1887 года в «Rendiconti» Академии деи Линчеи — «Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni» — впервые рассматривают такие величины систематически, а не как случайные выражения в отдельных задачах.

Революция здесь маленькая, но настоящая

Вариационное исчисление к 1887 году было старше ста лет: ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. и ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. умели искать кривую, доставляющую минимум интегралу. Но действовали окольно — заменяли кривую ломаной из $n$ звеньев, писали условие минимума для функции $n$ переменных и переходили к пределу. Функционал был процедурой, а не объектом.

Вольтерра говорит: это функция, просто определённая не на прямой, а на множестве кривых. А если это функция, к ней применимо всё, что мы умеем делать с функциями, — прежде всего дифференцировать.

Производная по функции

Приращение аргумента здесь не число, а функция $h$. Определяем как обычно:

$$\delta F[y;h]=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{F[y+\varepsilon h]-F[y]}{\varepsilon}.$$

Это линейный по $h$ функционал; Вольтерра замечает, что в разумных случаях он записывается интегралом

$$\delta F[y;h]=\int_{a}^{b}\frac{\delta F}{\delta y(x)}\,h(x)\,dx,$$

и подынтегральный множитель — вариационная производная, точный аналог частной производной. Только «номер переменной» здесь непрерывен: вместо $\partial F/\partial y_{k}$ пишем $\delta F/\delta y(x)$.

Дальше всё идёт по учебнику анализа. Условие экстремума — обращение производной в нуль:

$$\frac{\delta F}{\delta y(x)}=0,$$

и для $F[y]=\int L(x,y,y')\,dx$ это в точности уравнение Эйлера — Лагранжа

$$\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0.$$

Старая теория не изменилась ни на букву — изменился взгляд. Уравнение Эйлера — Лагранжа перестало быть хитрым приёмом и стало тем же, чем в школе является условие $f'(x)=0$.

Откуда взялась мотивация: память

Вольтерру привела сюда не философия, а механика. Металл, который долго нагружали, «помнит» историю нагружения: напряжение сегодня зависит не от сегодняшней деформации, а от всей предыстории. Вольтерра пишет это так:

$$\sigma(t)=E\,\varepsilon(t)+\int_{-\infty}^{t}K(t-s)\,\varepsilon(s)\,ds.$$

Величина слева — функционал от целой функции $\varepsilon(\cdot)$. Вольтерра назвал такие явления наследственными (ereditari) и построил для них теорию — по существу первую теорию систем с памятью. Из неё же выросли интегральные уравнения Вольтерры (1896) с переменным верхним пределом, а позже, уже в 1920-е, его модель «хищник — жертва».

Кто дал имена

Слово «функционал» (fonctionnelle) закрепил Жак АдамарЖак Адамарфранцузский математик · 1865–1963Доказал теорему о распределении простых чисел — одновременно и независимо с Валле-Пуссеном, без единого слова спора о приоритете. Прожил девяносто семь лет и написал книгу о том, как математики думают. в 1903 году. Название всей дисциплине дал его ученик Поль Леви книгой «Leçons d'analyse fonctionnelle» (1922). А общую рамку — что множество функций само есть пространство, где определены расстояние, сходимость и компактность, — дал другой ученик Адамара, Морис Фреше, в диссертации 1906 года.

Чего не хватало

Взгляд был найден, но работающей техники за ним пока не стояло: определив производную по функции, Вольтерра не получил ни одной теоремы существования. Инструмент придёт с другой стороны — из Стокгольма, где Фредгольм научится обращаться с интегральным уравнением как с системой линейных уравнений, у которой неизвестных континуум. Именно после его заметки дисциплина начнёт быстро расти.

Человек

Вито Вольтерра (1860–1940) родился в Анконе в бедной еврейской семье, отца потерял в два года; учиться помогли родственники, отговаривавшие его от математики в пользу торговли. В двадцать три он профессор механики в Пизе, с 1900 года — в Риме, позже президент Академии деи Линчеи и сенатор.

В 1931 году, когда от университетских профессоров потребовали присяги на верность фашистскому режиму, отказались двенадцать человек примерно из тысячи двухсот пятидесяти. Вольтерра был среди них. Он лишился кафедры и был исключён из итальянских академий; иностранные членства сохранил и последние годы работал за границей. Умер в Риме в 1940 году.

Следующая точка: Стокгольм, 1900 — заметка на несколько страниц, после которой ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. отложил все свои планы.