Пирс Боль: неподвижные точки за пять лет до Брауэра

Что произошло

Пирс Боль (1865–1921) — математик из Риги, латыш немецкого происхождения, преподаватель Рижского политехнического института. Работал он в основном по дифференциальным уравнениям и небесной механике.

В 1904 году в «Журнале Крелле» вышла его статья «Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage» — «О движении механической системы вблизи положения равновесия». Задача — определить, может ли система, выведенная из равновесия, оставаться сколь угодно долго в его окрестности.

Разбирая случай трёх степеней свободы, Боль доказывает вспомогательное утверждение:

Не существует непрерывного отображения трёхмерного шара на его граничную сферу, оставляющего каждую точку границы на месте.

Это теорема о нерастяжимости (об отсутствии ретракции). И она эквивалентна теореме Брауэра о неподвижной точке.

Доказать эквивалентность несложно, и рассуждение стоит привести — оно короткое и красивое.

Из нерастяжимости следует неподвижная точка. Пусть $f:D^{n}\to D^{n}$ непрерывно и не имеет неподвижных точек, то есть $f(x)\ne x$ всегда. Тогда для каждой точки $x$ проведём луч из $f(x)$ через $x$ и обозначим через $r(x)$ точку его пересечения с границей. Отображение $r$ непрерывно (потому что $f(x)\ne x$) и оставляет граничные точки на месте: если $x$ на границе, луч упирается в неё же. Получилась ретракция — противоречие. $\blacksquare$

Обратное выводится столь же коротко.

Так что в 1904 году в Риге доказана — в размерности три — теорема, которую через шесть-семь лет докажет в общем виде Брауэр и которая войдёт в математику под его именем.

Почему это не стало теоремой

Ответ, кажется, простой и поучительный: Боль не понял, что у него в руках.

Утверждение стоит у него в середине работы как техническая лемма, нужная для механической задачи. Оно не выделено, не названо, не обобщено на другие размерности, и никаких выводов из него автор не делает. Он решал свою задачу и решил её.

Брауэр же занимался ровно тем, что искал общие инструменты для топологии, и его теорема появилась в контексте, где сразу было понятно, зачем она нужна и что из неё следует.

Сам Боль в 1910-е годы, узнав о работах Брауэра, приоритета не оспаривал.

На этой карте подобных историй несколько, и все они об одном: результат становится теоремой не тогда, когда он доказан, а тогда, когда понято, чего он стоит. Больцано доказал теорему о промежуточном значении и признак Коши за годы до КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., печатаясь в Праге, где их никто не читал. Листинг нашёл ленту раньше МёбиусаАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая…. Ибн аль-Хайсам сформулировал критерий простоты за 770 лет до Вильсона. Ни одному из них имя не досталось.

Что Боль сделал ещё

Его собственный, вполне признанный вклад лежит в другом месте.

Квазипериодические функции. Боль в 1893 году, независимо от Эсклангона, ввёл класс функций вида $f(t)=F(\omega_1 t,\dots,\omega_n t)$, где $F$ периодична по каждому аргументу, а частоты несоизмеримы. Такая функция никогда не повторяется точно, но подходит к прежнему состоянию сколь угодно близко. Это прямая предшественница почти периодических функций Харальда Бора (1920-е) — и, кстати, естественный язык для описания движений в задачах небесной механики, которыми Боль и занимался.

Проблема среднего движения. Он поставил вопрос: существует ли у аргумента суммы нескольких вращающихся векторов средняя скорость роста? Задача оказалась глубокой; полностью её решил Герман ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. в 1938 году, применив теорию равнораспределения. Формулировка задачи носит имя Боля.

Работал он в Риге всю жизнь, в отрыве от больших математических центров, и умер в 1921 году, в разгар послевоенной разрухи, пятидесяти шести лет.

На карте это одна из немногих точек Прибалтики, и стоит она рядом с Дерптом — двумя балтийскими университетами, где математика делалась на периферии внимания.

Задача. Выведите из теоремы Брауэра о неподвижной точке теорему о нерастяжимости (обратное к рассуждению из текста).
(Указание: пусть $r:D^{n}\to\partial D^{n}$ — ретракция. Рассмотрите $f=-r$, то есть композицию $r$ с антиподальным отображением сферы. У $f$ нет неподвижных точек: $f(x)$ всегда лежит на границе, и если бы $f(x)=x$, то $x\in\partial D^n$, откуда $r(x)=x$ и $f(x)=-x\ne x$. Противоречие с Брауэром.)

Следующая точка: Амстердам — где те же утверждения будут доказаны в общем виде, названы и осмыслены, а потом автор от них отречётся.