Слово «топология»

Имя

Иоганн Бенедикт Листинг (1808–1882) — ученик ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию., с 1839 года профессор физики в Гёттингене. В 1847 году он публикует небольшую книгу «Vorstudien zur Topologie» — «Предварительные исследования по топологии».

Слово $\tau\acute{o}\pi o\varsigma$ — «место», $\lambda\acute{o}\gamma o\varsigma$ — «учение»; в письмах он пользуется термином с 1836 года. Объясняет он выбор так: речь о модальных отношениях пространственных образов — о том, как части соединены, — в отличие от отношений количественных, которыми занимается обычная геометрия.

Конкурент у слова был серьёзный: латинское analysis situs, восходящее к Лейбницу и использованное Эйлером. Именно так называется главная работа Пуанкаре 1895 года. Победа «топологии» пришла только в 1920–30-е годы, во многом через немецкую школу и книгу АлександроваПавел Сергеевич Александровсоветский математик · 1896–1982Создал московскую топологическую школу и вместе с Урысоном — теорию компактных пространств; ввёл в обиход гомологические группы, услышав идею от Эмми Нётер. и ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. «Topologie» (1935).

Спор о названии не был пустым. За «analysis situs» стояло представление о разделе анализа; за «топологией» — претензия на самостоятельную науку. Выиграла претензия.

Что в книге

Содержание «Vorstudien» разочаровывает всякого, кто ждёт теорем: это скорее программное сочинение с примерами. Листинг разбирает узлы и зацепления, вопросы о том, когда одну пространственную конфигурацию можно перевести в другую, вводит понятие «комплекса» и пытается описать способы соединения частей.

Гораздо содержательнее его вторая книга — «Der Census räumlicher Complexe» (1861). В ней:

• даётся обобщение формулы ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. на сложные комплексы — фактически то, что позже назовут эйлеровой характеристикой в общем виде;
• вводится величина, измеряющая «связность» тела числом разрезов, которые можно сделать, не разделив его на части, — предшественница чисел БеттиЭнрико Беттиитальянский математик · 1823–1892Ввёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии.;
• и, между делом, описывается односторонняя поверхность.

Дважды не повезло

С Листингом связаны сразу два сюжета о том, как первенство не превращается в имя.

Лента. Одностороннюю поверхность он обнаружил в июле 1858 года; МёбиусАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… наткнулся на неё независимо несколькими месяцами позже. Листинг и опубликовал раньше — в 1861-м, тогда как работа Мёбиуса вышла посмертно в 1865-м. Имя тем не менее досталось Мёбиусу, и внятного объяснения, как это вышло, у историков нет.

Слово. Термин «топология» лет семьдесят оставался маргинальным, а когда победил, его стали связывать не с автором, а с предметом.

Что осталось за Листингом: число Листинга в теории комплексов, «листингов узел» (восьмёрка — простейший узел после трилистника, он же ахиральный) и добрая дюжина терминов из оптики, которой он занимался всерьёз: микрон как единица длины, «узловые точки» оптической системы, слово «телескопический». Гаусс, к слову, ценил его высоко и рекомендовал на гёттингенскую кафедру.

Что вообще значит «топологическое свойство»

Раз уж дисциплина получила здесь имя, стоит договориться о предмете.

Два пространства называются гомеоморфными, если между ними есть взаимно однозначное соответствие, непрерывное в обе стороны. Свойство называется топологическим, если оно одинаково у любых гомеоморфных пространств.

Отсюда классические примеры. Отрезок и окружность не гомеоморфны: выбросив внутреннюю точку, отрезок распадается на две части, а окружность остаётся связной. Буквы «О» и «Р» не гомеоморфны, а «О» и «Д» — гомеоморфны. Чашка и бублик гомеоморфны, чашка и стакан — нет (у стакана нет ручки).

Обратите внимание на приём в примере с отрезком: чтобы доказать, что фигуры разные, мы нашли свойство, сохраняющееся при гомеоморфизме, и обнаружили, что оно различается. Это единственный доступный способ, и вся дальнейшая линия — история изобретения таких свойств.

Задача. Разбейте заглавные буквы русского алфавита на классы гомеоморфности (буквы считаем нарисованными линиями нулевой толщины). Сколько классов получится и по какому признаку они различаются?
(Указание: считайте число «дыр» и число концов-свободных точек, а также точек ветвления. Например, О и Ф различаются числом дыр и наличием ветвлений; Г, Л, С, П и З все гомеоморфны отрезку.)

Следующая точка: Лейпциг — где та самая односторонняя поверхность получит чужое имя и станет символом всей дисциплины.