Многогранник с дыркой

Контрпримеры

Симон Антуан Жан Люилье (1750–1840), женевский математик, известный прежде всего работами по основаниям анализа (именно он ввёл обозначение $\lim$), в 1813 году публикует в «Annales de Gergonne» разбор эйлеровой формулы — и предъявляет случаи, в которых она не выполняется.

Случай первый: сквозная дыра. Возьмём куб и просверлим в нём квадратное отверстие насквозь. Считаем:

$$V=16,\qquad E=32,\qquad F=16,\qquad V-E+F=0 .$$

Не два, а ноль.

Случай второй: полость внутри. Куб, внутри которого пустота в форме куба поменьше, не соединённая с внешностью. Здесь $V-E+F=4$: две поверхности, каждая даёт по двойке.

Случай третий: грань с дыркой. Грань в виде кольца (например, если приклеить к грани куба меньший кубик и убрать внутреннюю крышку) — формула тоже ломается, но по другой причине: такая «грань» не является диском.

Три случая — три разные болезни, и разобраться, какая чего стоит, удалось не сразу. Именно на этом сюжете философ Имре Лакатос построил свою книгу «Доказательства и опровержения» (1976): математики не отбрасывают теорему при первом контрпримере, а уточняют понятия — что считать многогранником, что гранью, — пока теорема и определение не придут в согласие.

Что из этого следует: род

Первый случай оказался самым содержательным, потому что он не про определение, а про предмет.

Величина $\chi=V-E+F$ не зависит от того, как именно разбита поверхность на грани, — но зависит от самой поверхности. Куб, тетраэдр, футбольный мяч дают двойку, потому что все они — сферы, только по-разному нарезанные. Просверленный куб даёт ноль, потому что он — тор.

$$\boxed{\;\chi=2-2g\;}$$

где $g$ — род поверхности, число сквозных дыр (или, что то же самое, число «ручек»).

Проверим на просверленном кубе: $g=1$, значит $\chi=0$. Сходится.

Так «поломка» формулы превратилась в измерительный прибор: посчитав $V-E+F$ по любому разбиению, мы узнаём число дыр, не глядя на фигуру целиком.

Классификация поверхностей

Отсюда прямая дорога к первой большой теореме топологии, которую сформулировал МёбиусАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… (1863) и довели до строгости Дэн и Хеегор (1907):

Теорема о классификации поверхностей. Всякая замкнутая связная ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с $g$ ручками, и род $g$ определяет её однозначно.

Это исключительно сильное утверждение. Все двумерные замкнутые поверхности — вообще все, какие только можно вообразить, — перечислены одним натуральным числом. Никакой другой раздел геометрии подобной полнотой похвастаться не может, и уже в трёх измерениях аналогичная классификация окажется задачей на сто лет (Тёрстон и Перельман).

Для неориентируемых поверхностей (о них — в следующей точке) классификация тоже существует: они получаются из сферы приклеиванием $k$ листов Мёбиуса, и $\chi=2-k$. Проективная плоскость даёт $\chi=1$, бутылка КлейнаФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. — $\chi=0$.

Люилье помимо этого

Он выиграл в 1786 году конкурс Берлинской академии на лучшее изложение оснований исчисления бесконечно малых — тему предложил сам ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней., недовольный туманностью тогдашних объяснений. Работа Люилье вводила обозначение предела и была замечена; впрочем, строгость по нынешним меркам пришла только с Коши.

Ещё одна деталь, характерная для этой линии: Люилье не считал своё наблюдение о дырке важным. Оно опубликовано в разделе разных заметок и занимает несколько страниц. Что здесь родился инвариант, определяющий поверхность полностью, поняли значительно позже.

Задача. Возьмите куб и просверлите в нём два непересекающихся сквозных отверстия. Чему равна эйлерова характеристика получившейся поверхности?
(Ответ: род равен 2, значит $\chi=2-2\cdot2=-2$. Проверить можно и напрямую, посчитав вершины, рёбра и грани, — но проще довериться формуле: в том и смысл инварианта.)

Следующая точка: Гёттинген — где у всех этих наблюдений наконец появится общее имя.