Геометризация Тёрстона

Замысел

В двух измерениях всё известно с XIX века: замкнутая поверхность определяется родом, и на ней есть метрика постоянной кривизны — сферическая при $g=0$, евклидова при $g=1$, гиперболическая при $g\geqslant2$. Топология и геометрия связаны жёстко.

В трёх измерениях никакой классификации не было. Многообразий много, они устроены дико, и общего порядка в них не просматривалось.

Уильям Тёрстон (1946–2012) предложил порядок — по образцу двумерного случая, но с поправкой на то, что постоянной кривизны трёх видов не хватит.

Гипотеза геометризации (1982). Всякое замкнутое трёхмерное многообразие канонически разрезается (сначала по сферам, затем по торам) на куски, каждый из которых допускает полную однородную геометрию одного из восьми типов.

Восемь геометрий:

$$E^{3},\quad S^{3},\quad \mathbb{H}^{3},\quad S^{2}\times\mathbb{R},\quad \mathbb{H}^{2}\times\mathbb{R},\quad \widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})},\quad \mathrm{Nil},\quad \mathrm{Sol}.$$

Первые три — знакомые постоянной кривизны: евклидова, сферическая, Лобачевского. Следующие две — произведения. Последние три — однородные, но не изотропные: в них разные направления неравноправны, как в кристалле.

Что список именно такой и полный, Тёрстон доказал: восьмёрка получается разбором возможных групп изометрий, действующих транзитивно.

Гипотеза ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. как следствие. Если многообразие односвязно, то в разложении нет ни торов, ни сфер, а из восьми геометрий подходит только сферическая; единственное односвязное многообразие со сферической геометрией — это $S^{3}$. Вопрос, стоявший с 1904 года, оказался узким частным случаем общей картины.

Что Тёрстон доказал сам

Гипотезу в общем виде он не доказал — это сделает Перельман двадцать лет спустя. Но он доказал её для очень широкого класса — многообразий Хакена, — и результат («теорема о гиперболизации») сам по себе огромен.

Побочные следствия оказались не менее важными.

Гиперболическая геометрия — это норма, а не экзотика. До Тёрстона казалось, что трёхмерные многообразия с геометрией ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица. редки. Он показал обратное: почти все трёхмерные многообразия гиперболические, а остальные семь геометрий приходятся на исключения. Геометрия, которую двести лет считали противоестественной, оказалась типичным устройством трёхмерного мира.

Гиперболическая хирургия ДенаМакс Деннемецкий математик · 1878–1952Первым решил задачу из списка Гильберта — и решил отрицательно; поставил три вопроса о группах, из которых выросла комбинаторная теория групп; кончил жизнь преподавателем в колледже для художников.. Из данного многообразия можно получать новые, вырезая полноторие и вклеивая обратно с поворотом. Тёрстон доказал: почти все такие операции сохраняют гиперболичность, а объём при этом строго убывает. Отсюда — объём как инвариант, множество объёмов вполне упорядочено, и целая индустрия вычислений (программа SnapPea, таблицы гиперболических узлов).

Норма Тёрстона, слоения, теория поверхностей — ещё несколько направлений, каждое из которых само по себе тянет на репутацию.

Филдсовская медаль 1982 года.

Спор о том, что такое доказательство

С Тёрстоном связан сюжет, который стоит знать всякому, кто преподаёт.

Работая, он опирался на исключительно сильную геометрическую интуицию и не публиковал полных доказательств. Результаты объявлялись, объяснялись на лекциях и в конспектах, расходившихся в копиях, но статей в привычном виде не было. Многие работали, ссылаясь на утверждения, доказательства которых существовали только в устной традиции.

В 1993 году Артур Джаффе и Фрэнк Куинн опубликовали статью о «теоретической математике», где предлагали отделять объявленные результаты от доказанных, и в качестве примера проблемы упоминали в том числе стиль Тёрстона.

Ответ Тёрстона — эссе «On Proof and Progress in Mathematics» (1994) — стал одним из самых читаемых текстов о природе математической работы. Его главный тезис:

Математика — это не производство теорем, а производство понимания в человеческих головах.

Он писал, что формальное доказательство — способ передачи понимания, а не его содержание; что одно и то же утверждение можно понимать десятком разных способов (он приводит знаменитый список из семи способов думать о производной); и что вопрос «как сделать так, чтобы люди поняли» законен наравне с вопросом «как доказать».

Заодно он честно признал ошибку: расходясь с сообществом в способе публикации, он невольно вытеснил из области других математиков — те не могли работать там, где всё уже «известно», но не написано. После этого он изменил практику.

Эссе стоит читать целиком; для учителя оно, пожалуй, полезнее любой отдельной теоремы этой линии.

Человек

Тёрстон был знаменит способностью видеть трёхмерные объекты. Он участвовал в создании фильма «Not Knot» и «Outside In» (о выворачивании сферы Смейла), придумывал бумажные модели гиперболических плоскостей, а его коллеге Дайне Тайминя принадлежит идея вязать их крючком — способ, разошедшийся по школам всего мира.

Отдельный эпизод: в 2010 году он сотрудничал с домом моды Issey Miyake — коллекция была построена на восьми геометриях. Математик в титрах модного показа — случай, кажется, единственный.

Он умер в 2012 году, за несколько месяцев до этого написав на форуме MathOverflow ответ на вопрос «что мотивирует математиков?», ставший едва ли не самым цитируемым текстом сайта.

Задача. Проверьте, что из гипотезы геометризации следует гипотеза Пуанкаре: односвязное замкнутое трёхмерное многообразие есть $S^{3}$.
(Указание: односвязность запрещает нетривиальное разложение по сферам и торам (иначе появилась бы нестягиваемая петля), значит многообразие несёт одну из восьми геометрий целиком; семь из них имеют бесконечную фундаментальную группу или нестягиваемые петли, остаётся сферическая, а односвязное многообразие с ней — только сама $S^{3}$.)