С. П. Новиков: инвариантность классов Понтрягина

Задача

Характеристические классы — это числовые инварианты, вычисляемые по многообразию и различающие то, что не различают гомологии. У них есть неприятная особенность: все известные определения опираются на гладкость.

Классы Черна, классы Понтрягина, классы Штифеля — УитниХасслер Уитниамериканский математик · 1907–1989Доказал, что всякое абстрактное многообразие можно вложить в обычное пространство, — и этим сделал понятие многообразия законным. Его «трюк» определил, почему топология в размерностях выше четырёх проще, чем в… строятся по касательному расслоению, а касательное расслоение существует лишь у гладкого многообразия: чтобы говорить о касательных векторах, нужно уметь дифференцировать.

Отсюда законный вопрос. Пусть два гладких многообразия гомеоморфны (то есть топологически одинаковы), но не диффеоморфны — Милнор показал, что так бывает. Совпадут ли у них классы Понтрягина?

Ответ, как выяснилось, зависит от того, о каких классах речь.

• Классы Штифеля — Уитни (коэффициенты по модулю 2) топологически инвариантны — это доказал ещё Ву в 1950-х.
• Целочисленные классы Понтрягина топологически НЕ инвариантны — контрпримеры известны.
• А вот рациональные классы Понтрягина — то есть их образы в когомологиях с рациональными коэффициентами — инвариантны. Это и есть результат Новикова.

Теорема Новикова (1965). Рациональные классы Понтрягина замкнутого гладкого многообразия являются топологическими инвариантами: гомеоморфные многообразия имеют одинаковые рациональные классы Понтрягина.

Почему это важно

Первый ответ — практический. Классы Понтрягина входят в формулу Хирцебруха о сигнатуре, в теорему об индексе Атьи — Зингера, в вычисление групп гладких структур Кервера и Милнора. Все эти результаты формулировались для гладких многообразий; теорема Новикова показала, что значительная их часть — утверждения о топологии, а гладкость нужна была лишь как строительные леса.

Второй ответ — методологический, и он ценнее. Речь о том, как отделить структуру от предмета. Величина, определённая через дополнительную структуру, может от неё не зависеть — и тогда её надо переопределить честно. Тот же ход мысли мы уже видели у Гаусса: кривизна определялась через вложение поверхности в пространство, а оказалась внутренней. Здесь то же самое этажом выше.

Доказательство Новикова считается технически одним из труднейших в топологии того времени: оно использует хирургию, разложение многообразий на ручки и тонкий анализ фундаментальных групп. Позже появились другие подходы, в том числе через операторные алгебры.

Гипотеза Новикова

В том же круге идей он высказал утверждение, ставшее одной из центральных открытых проблем.

Гипотеза Новикова (1965). Высшие сигнатуры многообразия — характеристические числа, построенные по классам Понтрягина и классам из когомологий фундаментальной группы, — являются гомотопическими инвариантами.

Гипотеза доказана для очень широких классов групп (в том числе для гиперболических групп ГромоваМихаил Леонидович Громовсоветский и французский математик · род. 1943Научил смотреть на пространство издалека — так, что детали пропадают, а остаётся форма; из этого вышли геометрия групп, теорема о полиномиальном росте и предельные переходы, без которых не работает…, для групп, вложимых в гильбертово пространство), но в общем виде открыта уже шестьдесят лет. Она оказалась связана с гипотезой Баума — Конна в некоммутативной геометрии, и работа над ней идёт сразу в нескольких областях — топологии, теории операторных алгебр, геометрической теории групп.

Человек

Сергей Петрович Новиков (1938–2024) — сын двух математиков. Отец, Пётр Сергеевич Новиков, доказал неразрешимость проблемы тождества слов; мать, Людмила Всеволодовна Келдыш, — специалист по геометрической топологии; дядя — Мстислав Келдыш, президент Академии наук.

Здесь стоит быть внимательным: П. С. Новиков и С. П. Новиков — разные люди, отец и сын, и на карте у каждого своя точка. Путаница между ними в литературе встречается регулярно.

Филдсовскую медаль ему присудили в 1970 году на конгрессе в Ницце — и не выпустили из страны её получать. Медаль была вручена в Москве в 1971 году, когда приехал президент Международного математического союза; по распространённой версии, это сделал Майкл Атья.

Около 1971 года Новиков ушёл из топологии — по его собственным объяснениям, почувствовав, что предмет исчерпал для него интерес, — и занялся математической физикой: теорией солитонов, конечнозонным интегрированием, уравнением Кадомцева — Петвиашвили. Уравнение Новикова — Веселова и метод, носящий его имя, относятся уже к этому периоду. Он же много лет руководил семинаром в МГУ, через который прошло несколько поколений.

Заодно — что такое характеристический класс

Раз уж вся точка о них, стоит объяснить понятие на пальцах.

Возьмём поверхность и попробуем выбрать на ней всюду ненулевое касательное векторное поле. На торе получится, на сфере — нет (теорема о причёсывании ежа). Препятствие измеряется числом — эйлеровой характеристикой.

Характеристические классы — это то же самое, но систематически: они измеряют, насколько расслоение над многообразием отличается от тривиального, то есть насколько нельзя выбрать согласованный набор направлений. Классы ЧернаШиинг-Шен Чернкитайско-американский математик · 1911–2004Показал, что определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики; классы Черна связали геометрию с топологией и потом оказались языком физики калибровочных полей. отвечают за комплексные расслоения, Штифеля — Уитни за вещественные по модулю 2, Понтрягина за вещественные с целыми коэффициентами.

Вычисляются они через кривизну связности (формула Черна) — то есть по локальным данным, — а результат оказывается целым числом, не зависящим ни от связности, ни, как выяснил Новиков, от гладкой структуры.

Задача. Объясните, почему на торе существует всюду ненулевое касательное векторное поле, а на сфере нет, пользуясь только эйлеровой характеристикой.
(Ответ: по теореме ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор. сумма индексов особых точек равна $\chi$. У тора $\chi=0$, и поле без особых точек допустимо — например, «вдоль трубы». У сферы $\chi=2\ne0$, значит особые точки обязаны быть.)

Следующая точка: Принстон — где трёхмерный мир разложат на восемь однородных геометрий и поставят задачу для финала линии.