Теорема об индексе

Вопрос

Пусть $D$ — линейный дифференциальный оператор на компактном многообразии $M$. Определим два числа:

$$\dim\ker D=\text{число независимых решений уравнения } Du=0,$$
$$\dim\operatorname{coker}D=\text{число независимых условий, при которых } Du=f \text{ разрешимо}.$$

Для эллиптических операторов оба конечны. Их разность называется аналитическим индексом:

$$\operatorname{ind}D=\dim\ker D-\dim\operatorname{coker}D .$$

Каждое из слагаемых по отдельности крайне неустойчиво: чуть пошевелите коэффициенты оператора — и число решений скачком изменится. А разность не меняется. В конечномерном случае это школьный факт: для матрицы $m\times n$ индекс равен $n-m$ и от самой матрицы не зависит вовсе. Удивительно то, что в бесконечномерном случае устойчивость сохраняется, а сам индекс перестаёт быть тривиальным.

Вопрос, поставленный И. М. ГельфандомИзраиль Моисеевич Гельфандсоветский и американский математик · 1913–2009Не окончил школы и университета, стал одним из главных математиков века и полвека вёл семинар, который для Москвы был отдельным учебным заведением. в 1960 году, звучал так: раз индекс устойчив, он обязан выражаться через топологические данные — то есть вычисляться по форме пространства и по «старшему символу» оператора, без решения самого уравнения. Найдите формулу.

Что уже было известно

К 1963 году имелось несколько разрозненных результатов, которые задним числом опознаются как частные случаи.

ГауссКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. — Бонне — ЧернШиинг-Шен Чернкитайско-американский математик · 1911–2004Показал, что определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики; классы Черна связали геометрию с топологией и потом оказались языком физики калибровочных полей.. Возьмём оператор $d+d^{*}$, действующий на дифференциальных формах. Ядро — гармонические формы, и по теории Ходжа их число равно числам БеттиЭнрико Беттиитальянский математик · 1823–1892Ввёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии.. Индекс оказывается равен эйлеровой характеристике:

$$\operatorname{ind}(d+d^{*})=\sum_{k}(-1)^{k}b_{k}=\chi(M),$$

а топологическая формула — это в точности $\displaystyle\int_{M}\mathrm{Pf}(\Omega)=\chi(M)$, обобщение той самой формулы Гаусса — Бонне, с которой началась дифференциальная геометрия. Черн доказал её внутренним образом в 1944 году.

Теорема Хирцебруха о сигнатуре (1954): сигнатура четномерного многообразия выражается через $L$-род — определённую комбинацию классов ПонтрягинаЛев Семёнович Понтрягинсоветский математик · 1908–1988Ослеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора..

Теорема Хирцебруха — РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. — Роха (1954): размерность пространства сечений голоморфного расслоения выражается через характер Черна и род Тодда. А её простейший случай — классическая теорема Римана — Роха для римановых поверхностей, восходящая к ученику Римана.

Три теоремы из трёх разных областей, доказанные тремя разными способами. Атья и Зингер увидели в них одно утверждение.

Теорема

Атья приехал в Оксфорд в 1961 году; Зингер провёл там академический год 1962/63. Формулировку они получили в январе 1963-го, анонс вышел в Bulletin of the AMS в том же году, полное доказательство — серией статей 1968–1971 годов.

Теорема об индексе. Для эллиптического оператора $D$ на замкнутом ориентированном многообразии $M$
$$\operatorname{ind}D=\int_{M}\operatorname{ch}\big(\sigma(D)\big)\,\operatorname{Td}(TM\otimes\mathbb{C}),$$
где $\sigma(D)$ — старший символ оператора, $\operatorname{ch}$ — характер Черна, $\operatorname{Td}$ — род Тодда.

Расшифруем смысл, не вдаваясь в определения.

Слева — аналитическая величина: сколько решений у дифференциального уравнения. Справа — топологическая: интеграл от характеристических классов, то есть от величин, которые не меняются ни при каком непрерывном деформировании и вообще не знают о существовании оператора $D$, кроме его старшего символа.

Старший символ — это то, что получится, если в операторе оставить только производные высшего порядка и заменить $\partial/\partial x^{j}$ на переменную $\xi_{j}$. Для оператора ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. символ равен $-|\xi|^{2}$; эллиптичность означает, что символ не обращается в нуль при $\xi\ne0$. Всё, что теорема знает об операторе, — это его символ; младшие члены не влияют на индекс вовсе.

Первое доказательство шло через K-теорию (её Атья с Хирцебрухом построили несколькими годами раньше) и кобордизмы: обе части равенства проверялись на порождающих элементах кольца кобордизмов. Второе, «тепловое» доказательство (Макин и Зингер, 1967; Патоди, 1971; Гилки; Гетцлер, 1983) устроено иначе и физику ближе: рассматривается след теплового ядра $\operatorname{Tr}\left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname{Tr}\left(e^{-tDD^{*}}\right)$, который равен индексу при всех $t$; предел при $t\to\infty$ даёт аналитическую часть, а предел при $t\to0$ — топологическую, причём в асимптотике происходит то, что Патоди назвал фантастическим сокращением: все расходящиеся члены взаимно уничтожаются, оставляя ровно нужный характеристический класс.

Оператор ДиракаПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили. и его последствия

Самый содержательный частный случай — оператор Дирака $\not{D}$ на спинорном многообразии. Здесь теорема даёт

$$\operatorname{ind}\not{D}=\hat{A}(M)=\int_{M}\hat{A}\big(TM\big),$$

где $\hat A$ — так называемый $\hat A$-род, комбинация классов Понтрягина с рациональными коэффициентами.

Из этого немедленно следуют утверждения, никак не связанные с анализом на первый взгляд.

Целочисленность. Индекс — целое число по определению. Значит, $\hat A$-род спинорного многообразия обязан быть целым, хотя формула для него содержит дроби вроде $-1/24$. Отсюда: многообразие с нецелым $\hat A$ спинорной структуры не допускает. Топологическое ограничение, выведенное из существования дифференциального оператора.

Теорема Лихнеровича. Если на спинорном многообразии есть метрика положительной скалярной кривизны, то $\hat A(M)=0$. Доказательство в две строки: формула Лихнеровича $\not{D}^{2}=\nabla^{*}\nabla+\frac{R}{4}$ показывает, что при $R>0$ ядро оператора Дирака пусто, значит индекс равен нулю, значит и $\hat A$ равен нулю. Существование метрики с положительной кривизной запрещено топологией — прямой потомок theorema egregium, где топология тоже ограничивала геометрию.

Физика

В конце 1970-х выяснилось, что теорема об индексе — это математическая формулировка аномалий в квантовой теории поля. Киральная аномалия (Адлер, Белл, Джакив, 1969) — то, что классическая симметрия не выживает при квантовании, — численно равна индексу оператора Дирака в фоновом калибровочном поле. Условия сокращения аномалий, из которых, в частности, следует состав поколения частиц в Стандартной модели, есть равенства между индексами.

Инстантоны Янга — Миллса считаются той же теоремой: размерность пространства модулей инстантонов вычисляется как индекс. Именно эта формула позволит Дональдсону узнать, что его пространство модулей пятимерно.

Позже Атья, Патоди и Зингер распространили теорему на многообразия с краем, введя $\eta$-инвариант, который сегодня встречается в теории топологических изоляторов и квантового эффекта Холла.

Признание

Майкл Атья (1929–2019) получил Филдсовскую медаль в 1966 году — за K-теорию, теорему об индексе и формулу неподвижных точек, доказанную с Раулем БоттомРауль Боттамериканский математик · 1923–2005Обнаружил, что гомотопические группы классических групп повторяются с периодом два и восемь. Закономерность настолько неожиданная, что её называют чудом, — и на ней стоит K-теория, а через неё теорема об…. Изадор Зингер (1924–2021) Филдсовской медали не получал: к моменту доказательства ему было под сорок, а медаль присуждается только до сорока лет — распространённая путаница, которую стоит поправлять. В 2004 году оба получили Абелевскую премию с формулировкой «за открытие и доказательство теоремы об индексе, соединившей топологию, геометрию и анализ, и за выдающуюся роль в наведении мостов между математикой и теоретической физикой».

Задача. Оператор $D=\dfrac{d}{d\theta}-i\lambda$ на окружности (функции периодичны с периодом $2\pi$). Найдите его ядро и покажите, что при нецелых $\lambda$ ядро пусто, при целых — одномерно. Убедитесь, что коядро ведёт себя так же, и потому индекс равен нулю при любом $\lambda$ — как и предсказывает теорема, ведь эйлерова характеристика окружности равна нулю.

Следующая точка: тот же Оксфорд, одиннадцать лет спустя — где двумя картонными плитками замостят плоскость так, что узор не повторится никогда.