Рауль Ботт

Ботт пришёл в математику из электротехники и первые свои работы посвятил синтезу электрических цепей. Теорема Ботта — Даффина до сих пор в учебниках по электротехнике; сам он к тому времени занимался вещами, отстоящими от цепей насколько возможно.

Будапешт — Мичиган

Родился в 1923 году в Будапеште, вырос в Словакии, в 1938-м семья бежала от нацистов в Канаду. Учился на инженера в Университете Макгилла, диссертацию защитил в 1949 году в Карнеги — по теории цепей. В математику его перетащил Герман Вейль, позвавший в Институт перспективных исследований.

Периодичность

К середине 1950-х гомотопические группы сфер оставались хаосом: Серр научился считать отдельные случаи, общей картины не было. Естественно было посмотреть на другие важные пространства — на классические группы: унитарную $U(n)$, ортогональную $O(n)$, симплектическую $Sp(n)$.

При растущем $n$ группы $\pi_k$ перестают зависеть от $n$; их-то Ботт и вычислил, работая тогда в Мичиганском университете в Энн-Арборе.

Теорема Ботта о периодичности (1957). $\pi_{k+2}(U) \cong \pi_k(U)$ — период два. В вещественном случае $\pi_{k+8}(O) \cong \pi_k(O)$ — период восемь.

Стабильные группы унитарной серии идут $\mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}, 0, \ldots$ — и так до бесконечности. Ортогональной: $\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2, 0, \mathbb{Z}, 0, 0, 0, \mathbb{Z}$ — и повтор.

Никакой причины для такой правильности не просматривается, и её до сих пор называют чудом. Доказал он её средствами, которых от топологии не ждали, — теорией Морса: рассмотрел пространство путей в группе, взял функцию энергии и посчитал индексы её критических точек.

Что из этого выросло

Периодичность — это ровно то, что делает возможной K-теорию: Атья и Хирцебрух построили обобщённую теорию когомологий, у которой коэффициенты периодичны, и потому с ней можно считать. Дальше — теорема об индексе Атьи — Зингера, в доказательстве которой периодичность Ботта стоит опорой.

Ему же принадлежат формула Атьи — Ботта о неподвижных точках, теорема Ботта — Тью о вычислении когомологий де Рама (и написанная по ней книга, по которой учат до сих пор), теорема Ботта об аннулировании для слоений и работы о характеристических классах.

Учитель

Ботта помнят как исключительного лектора и учителя. Среди его аспирантов — Стивен Смейл, Дэниел Квиллен, Стивен Шэнюэль; тридцать пять человек всего, и репутация его такова, что о его манере рассказывают отдельно: он объяснял идею до того, как вводил определения, и не стеснялся признаться, что чего-то не понимает.

Премия Вольфа 2000 года. Умер в 2005 году в Сан-Диего.